"Algebra liniowa"

Spis treści

Przedmowa 8

Rozdział 1. Podstawowe struktury algebraiczne 10

1.1 . Działania i ich własności 10

1.2 . Grupa i jej podgrupy 13

1.3 . Pierścień i ciało 18

1.4 . Ćwiczenia podsumowujące 21

Rozdział 2. Liczby zespolone 22

2.1 . Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych 22

2.2 . Sprzężenie liczby zespolonej 27

2.3 . Moduł liczby zespolonej 28

2.4 . Postać trygonometryczna liczby zespolonej 30

2.5 . Pierwiastkowanie liczb zespolonych 36

2.6 . Wzory Eulera 41

2.7 . Postać wykładnicza liczby zespolonej 44

2.8 . Ćwiczenia podsumowujące 45

Rozdział 3. Wielomiany 47

3.1 . Pierścień wielomianów 47

3.2 . Podzielność wielomianów 50

3.3 . Schemat Hornera 53

3.4 . Pierwiastki wielomianów 55

3.5 . Wielomiany względnie pierwsze 63

3.6 . Funkcje wymierne i ułamki proste 65

3.7 . Ćwiczenia podsumowujące 72

Rozdział 4. Macierze 74

4.1 . Podstawowe Definicje 74

4.2 . Działania na macierzach 76

4.3 . Macierz odwrotna 86

4.4 . Ślad macierzy kwadratowej 91

4.5 . Ćwiczenia podsumowujące 93

Rozdział 5. Układy równań liniowych 95

5.1 . Podstawowe Definicje i fakty 95

5.2 . Równania macierzowe 110

5.3 . Kolejne własności macierzy odwracalnej 113

5.4 . Wyznaczanie macierzy odwrotnej 115

5.5 . Struktura rozwiązań układu równań liniowych 117

5.6 . Ćwiczenia podsumowujące 119

Rozdział 6. Wyznaczniki 122

6.1 . Definicja i pierwsze własności wyznacznika 122

6.2 . Wyznacznik iloczynu macierzy 135

6.3 . Macierze odwracalne i nieosobliwe 137

6.4 . Wyznacznik macierzy podobnych 140

6.5 . Układy równań i wzory Cramera 140

6.6 . Ćwiczenia podsumowujące 144

Rozdział 7. Przestrzeń wektorowa 147

7.1 . Przestrzeń wektorowa i jej podprzestrzenie 147

7.2 . Kombinacje liniowe wektorów 154

7.3 . Przestrzeń kolumnowa macierzy 158

7.4 . Liniowa zależność i liniowa niezależność wektorów 162

7.5 . Baza przestrzeni wektorowej 168

7.6 . Rząd macierzy 177

7.7 . Współrzędne wektora 180

7.8 . Suma i suma prosta podprzestrzeni 189

7.9 . Ćwiczenia podsumowujące 193

Rozdział 8. Przekształcenie liniowe 195

8.1 . Definicja przekształcenia liniowego 195

8.2 . Jądro i obraz przekształcenia liniowego 201

8.3 . Mono- i epimorficzność przekształcenia liniowego 206

8.4 . Suma i złożenie przekształceń liniowych 209

8.5 . Macierz przekształcenia liniowego 210

8.6 . Odwracalność odwzorowania liniowego 218

8.7 . Podobieństwo macierzy 222

8.8 . Ćwiczenia podsumowujące 226

Rozdział 9. Iloczyn skalarny i ortogonalność wektorów 228

9.1 . Definicja i przykłady iloczynów skalarnych 228

9.2 . Kąt pomiędzy wektorami 234

9.3 . Ortogonalność wektorów 235

9.4 . Ortogonalizacja bazy 239

9.5 . Dopełnienie ortogonalne 241

9.6 . Rzut ortogonalny 243

9.7 . Macierz rzutu ortogonalnego 246

9.8 . Metoda najmniejszych kwadratów 249

9.9 . Najlepsze rozwiązanie układu równań 250

9.10 . Dopasowanie prostej 252

9.11 . Macierz i przekształcenie ortogonalne 254

9.12 . Ćwiczenia podsumowujące 257

Rozdział 10. Wartości własne i wektory własne 260

10.1 . Wartości własne i wektory własne macierzy i operatora 260

10.2 . Diagonalizowalność macierzy i operatora liniowego 266

10.3 . Diagonalizacja macierzy symetrycznej 274

10.4 . Potęga macierzy diagonalizowalnej 279

10.5 . Granica ciągu macierzy 280

10.6 . Podprzestrzenie niezmiennicze 283

10.7 . Twierdzenie Cayleya-Hamiltona 286

10.8 . Zależności rekurencyjne 290

10.9 . Ćwiczenia podsumowujące 294

Rozdział 11. Formy kwadratowe 296

11.1 . Rzeczywista forma kwadratowa 296

11.2 . Postać kanoniczna formy kwadratowej 298

11.3 . Określoność macierzy i formy kwadratowej 305

11.4 . Ćwiczenia podsumowujące 311

Rozdział 12. Elementy geometrii analitycznej 313

12.1 . Iloczyn wektorowy wektorów 313

12.2 . Iloczyn mieszany wektorów 316

12.3 . Prosta i płaszczyzna 318

12.4 . Ćwiczenia podsumowujące 333

Bibliografia 335

Indeks 336