"Analiza matematyczna w zadaniach. Część 2"

Spis treści

Przedmowa do wydania pierwszego 6

Przedmowa do wydania dziesiątego 7

Rozdział 1. Funkcje dwu lub więcej zmiennych 8

1.1. Przestrzeń euklidesowa 8

1.2. Zbiory w przestrzeni euklidesowej 10

1.3. Zbieżność w przestrzeni euklidesowej 12

1.4. Funkcja, granica funkcji, ciągłość funkcji w przestrzeni euklidesowej 12

1.5. Zbiory płaskie 14

1.6. Zbieżność ciągów w przestrzeni R² 17

1.7. Funkcje dwóch zmiennych 17

1.8. Granica i ciągłość funkcji dwóch zmiennych 18

1.9. Pochodne cząstkowe 22

1.10. Pochodne jednostronne i pochodne w kierunku osi 29

1.11. Twierdzenie o przyrostach. Różniczka zupełna 32

1.12. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów 37

1.13. Różniczki wyższych rzędów funkcji wielu zmiennych 43

1.14. Operacje dystrybutywne (liniowe) w przestrzeni liniowej i ich zastosowania przy obliczaniu różniczek zupełnych 45

1.15. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych 48

1.16. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych 50

1.17. Ekstrema absolutne funkcji dwóch zmiennych 55

Rozdział 2. Funkcje uwikłane 60

2.1. Funkcje wielowartościowe (wieloznaczne) 60

2.2. Funkcje uwikłane jednej zmiennej 61

2.3. Funkcje uwikłane wielu zmiennych 68

2.4. Ekstrema funkcji uwikłanej jednej lub dwóch zmiennych 72

2.5. Przekształcanie ciągłe przestrzeni euklidesowej w siebie. Jakobiany 79

2.6. Układy funkcji uwikłanych 85

2.7. Ekstrema warunkowe 87

2.8. Funkcje jednorodne 91

Rozdział 3. Zastosowania geometryczne rachunku różniczkowego do krzywej płaskiej 93

3.1. Styczna i normalna do krzywej płaskiej 93

3.2. Krzywizna i promień krzywizny 95

3.3. Ewoluta i ewolwenta 99

3.4. Płaszczyzna styczna do powierzchni 104

3.5. Obwiednia rodziny linii 106

3.6. Linie w przestrzeni 107

3.7. Krzywizna i skręcenie krzywej przestrzennej 113

Rozdział 4. Całki podwójne 116

4.1. Całka podwójna, interpretacja geometryczna 116

4.2. Własności całek podwójnych 117

4.3. Zamiana całki podwójnej na iterowaną 118

4.4. Zamiana zmiennych w całce podwójnej 118

4.5. Całka niewłaściwa _º∫^∞ e^-x2dx 119

4.6. Obliczanie całki podwójnej. Objętość bryły 120

4.7. Pole powierzchni w przestrzeni 132

4.8. Inne zastosowania całek podwójnych 139

Rozdział 5. Całki potrójne 142

5.1. Zbiory punktów w przestrzeni 142

5.2. Całka potrójna 143

5.3. Zamiana całki potrójnej na iterowaną 144

5.4. Zamiana współrzędnych prostokątnych na współrzędne sferyczne i walcowe 145

5.5. Obliczanie całki potrójnej 147

5.6. Całka potrójna w zastosowaniach technicznych 155

Rozdział 6. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe 159

6.1. Łuki i krzywe gładkie 159

6.2. Całka krzywoliniowa płaska skierowana 160

6.3. Całka krzywoliniowa płaska nieskierowana 164

6.4. Całka krzywoliniowa w przestrzeni skierowana 166

6.5. Całka krzywoliniowa w przestrzeni nieskierowana 168

6.6. Wzór Greena 169

6.7. Całka różniczki zupełnej funkcji dwóch zmiennych 171

6.8. Całka różniczki zupełnej funkcji trzech zmiennych 174

6.9. Pola wektorowe 177

6.10. Całka powierzchniowa niezorientowana 185

6.11. Całka powierzchniowa zorientowana 191

6.12. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Twierdzenie Stokesa 194

Rozdział 7. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego o rozdzielonych zmiennych 197

7.1. Uwagi ogólne o równaniach różniczkowych rzędu pierwszego 197

7.2. Uwagi ogólne o rozdzielaniu zmiennych 198

7.3. Przykłady rozwiązywania równań o rozdzielonych zmiennych 199

Rozdział 8. Niektóre równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego rozwiązalne metodą podstawienia 215

8.1. Równania różniczkowe postaci y’=ƒ(ax + by + c) 215

8.2. Równania różniczkowe jednorodne względem x i y 219

8.3. Równania różniczkowe typu y’=f(a₁x + b₁y +c₁)/(a₂x + b₂y + c₂) 224

Rozdział 9. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego 228

9.1. Definicje 228

9.2. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne 228

9.3. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne 230

9.4. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne (cd.) 239

9.5. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne (dokończenie) 249

Rozdział 10. Rodziny linii 253

10.1. Równanie różniczkowe rodziny linii 253

10.2. Rodzina linii ortogonalnych 256

Rozdział 11. Niektóre równania różniczkowe nieliniowe rzędu pierwszego 262

11.1. Równanie różniczkowe Bernoulliego 262

11.2. Równanie różniczkowe Riccatiego 265

11.3. Równanie różniczkowe Clairauta 267

11.4. Równanie różniczkowe Lagrange’a-d’Alemberta 270

11.5. Równanie różniczkowe zupełne 274

11.6. Czynnik całkujący 276

Rozdział 12. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego 281

12.1. Równanie różniczkowe typu F(x, y’, y’’) = 0 281

12.2. Równanie różniczkowe typu F(y, y’, y’’) = 0 284

12.3. Równanie różniczkowe jednorodne względem y, y’, y’’ 286

Rozdział 13. Równania różniczkowe liniowe o współczynnikach stałych. Równanie Eulera 289

13.1. Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego 289

13.2. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne 289

13.3. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne 293

13.4. Równanie różniczkowe Eulera 301

13.5. Równanie różniczkowe liniowe rzędu n 305

Rozdział 14. Układ dwóch równań różniczkowych rzędu pierwszego 310

14.1. Uwagi ogólne 310

14.2. Rozwiązywanie układu równań 311

Rozdział 15. Szeregi trygonometryczne 315

15.1. Uwagi ogólne 315

15.2. Rozwijanie funkcji w szereg Fouriera 319

Rozdział 16. Funkcje zmiennej zespolonej 327

16.1. Pojęcie funkcji zmiennej zespolonej 327

16.2. Liczby zespolone jako pary uporządkowane liczb rzeczywistych 329

16.3. Zbiór liczb zespolonych jako przestrzeń metryczna 333

16.4. Ciągi i szeregi liczb zespolonych 334

16.5. Granica funkcji zmiennej zespolonej 336

16.6. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej 338

16.7. Ciągi i szeregi funkcyjne 341

16.8. Szeregi potęgowe 343

16.9. Mnożenie szeregów 346

16.10. Funkcje całkowite 349

16.11. Nieskończoność zespolona. Granice niewłaściwe. Rzut stereograficzny 352

16.12. Całka funkcji zespolonej 355

16.13. Funkcje holomorficzne 358

16.14. Szeregi Laurenta. Punkty regularne i osobliwe funkcji zmiennej zespolonej 362

16.15. Funkcje meromorficzne i residua funkcji 367

16.16. Logarytmy i potęgi liczb zespolonych. Gałąź jednoznaczna funkcji logarytmu zmiennej zespolonej 371

16.17. Funkcje zmiennej zespolonej jednokrotne i wielokrotne. Przedłużenia analityczne 373

16.18. Elementy analityczne. Przedłużenia analityczne wzdłuż krzywej. Funkcje analityczne wieloznaczne (wielowartościowe). Powierzchnie Riemanna 375

Rozdział 17. Transformacja Laplace’a i jej zastosowania 379

17.1. Całka Laplace’a 379

17.2. Transformacja Laplace’a 380

17.3. Transformacja odwrotna Laplace’a 380

17.4. Liniowość transformacji Laplace’a 382

17.5. Transformata pochodnej 383

17.6. Zastosowanie transformacji Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych i układów równań różniczkowych 384

Rozdział 18. Równania różniczkowe cząstkowe 387

18.1. Definicja ogólna 387

18.2. Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego 387

Rozdział 19. Rachunek wariacyjny 397

19.1. Uwagi wstępne 397

19.2. Twierdzenie Eulera 398

Rozdział 20. Rachunek prawdopodobieństwa 401

20.1. Definicja prawdopodobieństwa 401

20.2. Zdarzenia niezależne. Prawdopodobieństwo koniunkcji (iloczynu) zdarzeń 405

20.3. Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym (całkowitym). Wzór Bayesa 411

20.4. Zmienne losowe, ich rozkłady. Dystrybuanta 413

20.5. Wartość przeciętna, momenty, wariancje zmiennej losowej 416

20.6. Rozstęp, mediana moda 419

20.7. Twierdzenie Bernoulliego. Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) 421

20.8. Twierdzenie i rozkład Poissona 423

20.9. Rozkład normalny 424

20.10. Przybliżenie rozkładu Bernoulliego do rozkładu normalnego 427

20.11. Prawo wielkich liczb Bernoulliego 428

Rozwiązania i odpowiedzi 430

Skorowidz 482