Book content
Skip to reader controlsSkip to navigationSkip to book detailsSkip to footer
1.JĘZYKMATEMATYCZNY
Rachunekzdań
Badaniemzwiązkówmiędzyzdaniamiwypowiadanymiwmatematycezajmuje
sięlogikamatematyczna.
Zdaniemnazywamywlogicekażdąwypowiedź,októrejmożnastwierdzić,
żejestprawdziwalubfałszywa.
Zdaniaoznaczamyzwyklemałymiliterami:p,q,r,
...
.Jeślizdaniepjestprawdziwe,
tomówimy,żemawartośćlogiczną1ipiszemyw(p)=1.Jeślizdaniepjestfałszywe,
tomówimy,żemawartośćlogiczną0ipiszemyw(p)=0.Zdanychzdańmożemy
utworzyćnowezdania(złożone),używającsłów:i;lub;jeśli...,to;wtedyitylkowtedy,
gdy;nieprawda,że.
Zdanie:piqnazywamykoniunkcjązdańp,qioznaczamysymbolemp⇒q.
Zdanie:plubqnazywamyalternatywązdańp,qioznaczamysymbolemp⇒q.
Zdanie:Jeślip,toqnazywamyimplikacjąopoprzednikupinastępnikuqioznaczmy
symbolemp⇒q.Zdanie:pwtedyitylkowtedy,gdyqnazywamyrównoważnością
zdańp,qioznaczmysymbolemp⇔q.Zdanie:Nieprawda,żep,nazywamynegacją
zdaniapioznaczamysymbolem~p.
Wartościlogicznepowyższychzdańzłożonychzależąodwartościlogicznychzdań
składowych.Przyjmujemy,żekoniunkcjapqjestprawdziwawtedyitylkowtedy,
gdyobazdaniap,qsąprawdziwe.Alternatywapqjestprawdziwawtedyitylko
wtedy,gdychoćjednozezdańp,qjestprawdziwe.Implikacjap⇒qjestfałszywa,
jeślizdaniepjestprawdziwe,azdanieqfałszywe;wpozostałychprzypadkachprzyj-
mujemy,żeimplikacjajestprawdziwa.Równoważnośćp⇔qjestprawdziwawtedy
itylkowtedy,gdyobazdaniap,qmajątę
samąwartośćlogiczną,tzn.obasą
prawdziwelubobafałszywe.
Negacja~pjestprawdziwawtedy
itylkowtedy,gdyzdaniepjestfałszywe.
Wyżejwymienionezasadymożna
przedstawićzapomocątabelki
wartościlogicznych.
Prawemrachunkuzdańnazywamytakiezdaniezłożone,które
jestzawszeprawdziwe,niezależnieodwartościlogicznychzdańskładowych.
•Prawopodwójnegoprzeczenia:p⇔~(~p)
•PrawadeMorgana:~(pq)⇔(~p~q);
~(p
q)⇔(~p~q)
•Prawokontrapozycji:(p⇒q)⇔(~q⇒~p)
•Prawozaprzeczeniaimplikacji:~(p⇒q)⇔(p~q)
