Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
Postaćtrygonometrycznaliczbyzespolonej
1.Liczbyzespolone
Wtejczęścirozwiniemyrozważaniazpoprzedniegopunktu,posługującsięlicz-
bamizespolonymi.
Definicja1.10.Niechz=x+yibędzieliczbązespoloną.Odległośćpunktuz
odpoczątkuukładuwspółrzędnych,czyliwyrażenie
|z|=dx2+y2,
nazywamymodułemliczbyz.
Twierdzenie1.3.Niechz,z1,z2będądowolnymiliczbamizespolonymi.Wów-
czasmamy
1)|z|≥0,przyczym|z|=0wtedyitylkowtedy,gdyz=0.
2)|z1·z2|=|z1|·|z2|.
3)Jeżeliz2/=0,to|
|
z1
z2
|
|=
|z1|
|z2|
.
4)|z1+z2|=|z1|+|z2|oraz||z1|−|z2||≤|z1−z2|.
5)z·z=|z|2.
Poniższyrysunekprzypominarys.1.5,jednakterazpunktpłaszczyznyjest
traktowanyjakoliczbazespolona.
Przekształćmyliczbęzdopostaci:
z=x+yi=dx2+y2(
dx2+y2
x
+
dx2+y2
y
i)=|z|(cos0+isin0),
gdziekąt0jesttakdobrany,abyspełnionebyływarunki:
cos0=
|z|
x
,
sin0=
|z|
y
.
(1.2)
Takikątoczywiścieistnieje—wystarczypopatrzećnaliczbęzjaknapunkt
płaszczyznyzespolonejoraznazwiązkiobufunkcjitrygonometrycznychzewspół-
rzędnymix,y.
Definicja1.11.Postać
z=r(cos0+isin0)
nazywamypostaciątrygonometrycznąliczbyzespolonejz.
Więcejokącie0,czylicotojestargumentliczbyzespolonej
Zajmiemysiębliżejkątem0występującymwdefinicji1.11.Przedewszystkim
zauważmy,żejeśliudanamsięznaleźćjedentakikąt,tododawaniedoniego
całkowitychwielokrotnościkątapełnegonniepsuje”równości(1.2).Wynikatoze
wspomnianejjużokresowościfunkcjisinusikosinus(p.wzory(1.1)).
Możnaudowodnić,żedlakażdejparyliczbrzeczywistychx,y(awięcdla
każdejliczbyzespolonej)istniejedokładniejedenkąt0zprzedziału[0,2π),dla
któregosąspełnionerówności(1.2).
