Analiza matematyczna

Witold Kołodziej

ISBN/ISSN:

978-83-01-15970-2

DOI:

-

Publisher:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Publishing year:

2009

Pages:

510

XML:ISBN/ISSN:

Bibliografia:

Kołodziej, Witold. Analiza matematyczna. Red. . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, 510 s. ISBN 978-83-01-15970-2

Bibliografia refWorks:

RT Book, Whole

SR Electronic(1)

A1 Kołodziej, W.

A2

T1 Analiza matematyczna

PB Wydawnictwo Naukowe PWN

PP Warszawa

YR 2009

SN 978-83-01-15970-2

Bibliografia BibTex:

@Book{ 1373, author = "Kołodziej, Witold", editor = "", title = "Analiza matematyczna", publisher = "Wydawnictwo Naukowe PWN", year = "2009", address = "Warszawa", isbn = "978-83-01-15970-2" }

Bibliografia endNote:

TY - BOOK

AU - Kołodziej, Witold

ED -

TI - Analiza matematyczna

PB - Wydawnictwo Naukowe PWN

CY - Warszawa

PY - 2009

SN - 978-83-01-15970-2

ER -

Netography (standard APA):

Kołodziej, Witold. Analiza matematyczna [on-line database] Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009 [access: 31 05 2024]. Access in Ibuk Libra: https://libra.ibuk.pl/reader/analiza-matematyczna-witold-kolodziej-1373.

matematyka, analiza matematyczna, rachunek różniczkowy, teoria miary

Współczesna analiza matematyczna to przedmiot trudny i zbyt obszerny, by można go było wyłożyć studentom bez odwoływania się do podręcznika. [...] W polskiej literaturze matematycznej brakuje podręcznika do analizy dostosowanego do programu studió...

ISBN/ISSN:

978-83-01-15970-2

DOI:

-

Publisher:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Publishing year:

2009

Pages:

510

XML:ISBN/ISSN:

§ 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe12
Wstęp12
1. Zbiory12
2. Działania na zbiorach13
3. Produkty kartezjańskie14
4. Relacje równoważności. Podział na klasy14
5. Funkcje15
6. Zbiory przeliczalne19
§ 2. Liczby rzeczywiste21
1. Zbiór R liczb rzeczywistych jako ciało21
2. Relacja mniejszości. Zasada ciągłości22
3. Przedziały. Wartość bezwzględna24
4. Przykłady zastosowania zasady ciągłości24
5. Funkcje o wartościach rzeczywistych26
§ 3. Liczby zespolone27
1. Ciało C liczb zespolonych27
2. Geometryczna interpretacja liczb zespolonych. Moduł i argument liczby28
3. Funkcje o wartościach zespolonych29
§ 4. Przestrzenie metryczne30
Rozdział I. Elementy topologii30
1. Definicja30
2. Średnica zbioru. Zbiory ograniczone30
3. Granica ciągu punktów31
§ 5. Granica ciągu liczbowego33
1. Własności granicy ciągu liczbowego33
2. Granica ciągu liczb rzeczywistych35
3. Przykłady38
4. Liczba e40
§ 6. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R42
1. Definicje42
2. Granice ekstremalne ciągu43
3. Granica ciągu45
4. Funkcje o wartościach w R47
§ 7. Przestrzenie metryczne zupełne48
1. Definicja. Zupełność przestrzeni R48
2. Twierdzenie o punkcie stałym49
§ 8. Produkt kartezjański przestrzeni metrycznych51
1. Metryka i zbieżność w produkcie51
2. Produkt przestrzeni zupełnych53
§ 9. Granica funkcji54
1. Granica funkcji w punkcie54
2. Granica funkcji o wartościach liczbowych55
3. Granica funkcji o wartościach rzeczywistych56
4. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej57
5. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych58
6. Przykłady59
§ 10. Funkcje ciągłe62
1. Definicja i podstawowe twierdzenia62
2. Przykłady64
§ 11. Ciągi fukcyjne67
1. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna67
2. Własność granicy ciągu zbieżnego jednostajnie68
§ 12. Przestrzenie topologiczne70
1. Topologia. Zbiory otwarte. Wnętrze zbioru70
2. Zbiory domknięte. Domknięcie zbioru72
3. Topologia w przestrzeni metrycznej73
§ 13. Topologia w podzbiorze przestrzeni topologicznej76
1. Topologia indukowana76
2. Przypadek przestrzeni metrycznej77
§ 14. Produkt kartezjański przestrzeni topologicznych78
1. Topologia w produkcie78
2. Przypadek produktu przestrzeni metrycznych78
§ 15. Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych79
1. Definicja79
2. Homeomorfizmy80
§ 16. Przestrzenie ośrodkowe81
1. Definicja81
2. Przypadek przestrzeni metrycznej82
3. Produkt kartezjański przestrzeni ośrodkowych83
§ 17. Przestrzenie zwarte84
1. Definicja. Przypadek przestrzeni metrycznej84
2. Produkt kartezjański przestrzeni zwartych86
3. Funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych zwartych87
4. Przestrzeń C(X; Y)89
§ 18. Przestrzenie spójne90
1. Definicja. Zbiory spójne w przestrzeni R90
2. Kryteria spójności91
3. Zastosowanie: funkcje cyklometryczne i funkcja logarytmiczna92
§ 19. Przestrzenie unormowane95
Rozdział II. Elementy analizy funkcjonalnej95
1. Przestrzenie liniowe95
2. Przykłady97
3. Podstawowe pojęcia geometryczne97
4. Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha98
5. Produkt kartezjański przestrzeni unormowanych100
6. Wektory statystyczne do zbioru. Hiperpłaszczyzna styczna101
7. Funkcje o wartościach w przestrzeni unormowanej102
8. Przestrzeń unormowana C(X; Y)103
§ 20. Przestrzenie unitarne104
1. Iloczyn skalarny. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta104
2. Ortogonalność. rzut ortogonalny106
3. Przestrzenie unitarne skończenie wymiarowe107
§ 21. Funkcje liniowe109
1. Definicja. Funkcje liniowe ciągłe109
2. Zbiór funkcji liniowych ciągłych L(X; Y) jako przestrzeń unormowana110
3. Przykłady112
§ 22. Funkcje wieloliniowe114
1. Definicja. Funkcje wieloliniowe ciągłe114
2. Przestrzeń L(X₁,...,X_k; Y)115
3. Przykłady115
§ 23. Szeregi118
1. Szeregi elementów przestrzeni unormowanych. Ogólne kryteria zbieżności118
2. Przykłady120
3. Szeregi zbieżne bezwzględnie122
4. Szeregi liczb nieujemnych124
5. Szeregi podwójne elementów przestrzeni unormowanej126
6. Twierdzenie Cauchy'ego o mnożeniu szeregów129
7. Szeregi podwójne liczb nieujemnych130
8. Szeregi funkcyjne132
§ 24. Izomorfizmy i izometrie135
1. Przestrzenie izomorficzne135
2. Przestrzenie izometryczne137
3. Przykłady138
§ 25. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej141
Rozdział III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego141
1. Definicje141
2. Interpretacja geometryczna pochodnej142
3. Podstawowe reguły różniczkowania145
§ 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych148
1. Przykłady148
2. Pochodna nieskończona151
3. Twierdzenie Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego151
4. Reguły de L'Hospitala153
§ 27. Ogólne twierdzenia o przyrostach dla funkcji zmiennej rzeczywistej156
1. Problem uogólnienia twierdzeń Lagrange'a i Cauchy'ego na przypadek funkcji o wartościach w przestrzeniach unormowanych156
2. Zastosowanie: pochodna granicy157
§ 28. Pochodne wyższych rzędów funkcji zmiennej rzeczywistej159
1. Definicje159
2. Zastosowanie pochodnej rzędu drugiego do badania wypukłości funkcji161
3. Wzór Taylora163
4. Szereg Taylora167
5. Funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej168
§ 29. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych rzeczywistych170
1. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego170
2. Twierdzenie o przyrostach. Warunek Lipschitza171
3. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów172
§ 30. Pochodne kierunkowe174
1. Definicje174
2. Związek z pochodnymi cząstkowymi174
§ 31. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona176
1. Funkcja pierwotna176
2. Całka nieoznaczona178
3. Reguły całkowania178
4. Całkowanie funkcji elementarnych179
§ 32. Całka oznaczona funkcji ciągłej185
1. Definicja185
2. Wzory rachunkowe186
3. Nierówności. Twierdzenie o wartości średniej187
§ 33. Ogólna teoria równań różniczkowych190
Rozdziały IV. Równania różniczkowe zwyczajne190
1. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Zagadnienia początkowe190
2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego191
3. Układy równań różniczkowych rzędu pierwszego198
4. Równania różniczkowe wyższych rzędów199
§ 34. Równania różniczkowe liniowe202
1. Układy równań liniowych rzędu pierwszego202
2. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach205
3. Równanie liniowe rzędu n208
4. Równanie liniowe rzędu n o stałych współczynnikach211
§ 35. Pochodna funkcji określonej na podzbiorze przestrzeni unormowanej214
Rozdział V. Ogólna teoria różniczkowa214
1. Definicja. Związek z pochodną kierunkową214
2. Przypadek funkcji zmiennej rzeczywistej. Równoważność obu definicji pochodnej215
3. Interpretacja geometryczna pochodnej216
4. Przykłady218
5. Liniowość operacji różniczkowania219
6. Twierdzenia o przyrostach221
§ 36. Pochodna funkcji wielu zmiennych. Związek z pochodnymi cząstkowymi223
1. Pochodna funkcja określonej na podzbiorze przestrzeni R^m223
2. Uogólnienie: pochodna funkcji określonej na podzbiorze produktu przestrzeni unormowanych223
3. Pochodna funkcji o wartościach w produkcie przestrzeni unormowanych227
4. Synteza obu przypadków228
§ 37. Różniczkowanie złożenia230
1. Ogólne twierdzenie o pochodnej złożenia230
2. Różniczkowanie złożenia w przestrzeniach arytmetycznych232
3. Uogólnione twierdzenie o pochodnej iloczynu233
§ 38. Dyfeomorfizmy234
1. Różniczkowanie funkcji odwrotnej234
2. Odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy237
§ 39. Funkcje uwikłane239
1. Ogólne twierdzenie o funkcjach uwikłanych239
2. Funkcje uwikłane określone układem równań w przestrzeniach arytmetycznych242
§ 40. Pochodne wyższych rzędów244
1. Wstęp244
2. Pochodna rzędu drugiego245
3. Pochodna rzędu n247
4. Przypadek funkcji zmiennej rzeczywistej. Równoważność obu definicji pochodnej rzędu n249
5. Funkcje klasy C_n250
6. Pochodna rzędu n funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Związek z pochodnymi cząstkowymi252
7. Wzór Taylora252
§ 41. Ekstrema funkcji259
1. Definicja259
2. Kryteria259
§ 42. Ogólna teoria miary265
Rozdział VI. Teoria miary i całki265
1. Wstęp265
2. ?-ciała265
3. Miara266
4. Miara zewnętrzna270
§ 43. Miara Lebesgue'a w R^m275
1. Przedziały. Objętość przedziału275
2. Miara Lebesgue'a278
3. Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a280
§ 44. Funkcje mierzalne288
1. Definicja288
2. Działania na funkcjach mierzalnych290
§ 45. Całka funkcji mierzalnej nieujemnej294
1. Całka funkcji prostej nieujemnej294
2. Definicja całki funkcji mierzalnej nieujemnej298
3. Podstawowe własności całki300
4. Twierdzenie o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki304
5. Całka jako funkcja zbioru304
§ 46. Całka funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha306
1. Całka funkcji prostej306
2. Całkowalność i definicja całki309
3. Podstawowe własności funkcji całkowalnych311
4. Przypadek funkcji o wartościach rzeczywistych317
5. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki318
6. Całka jako funkcja zbioru321
§ 47. Całka Lebesgue'a323
1. Wstęp323
2. Całka funkcji ciągłej323
3. Całka funkcji jednej zmiennej. Całki niewłaściwe326
4. Zasada Cavalieriego333
5. Geometryczna interpretacja całki funkcji mierzalnej nieujemnej339
6. Całkowanie przez sprowadzenie do całki iterowanej340
7. Całkowanie przez podstawienie348
8. Całka jako funkcja parametrów359
§ 48. Hiperpowierzchnie363
Rozdział VII. Całki na hiperpowierzchniach363
1. Definicja363
2. Odwzorowania regularne pozdbiorów przestrzeni R^k w przestrzeniach R^m (k?m). Dyfeomorfizmy366
3. Hiperpowierzchnie gładkie i kawałkami gładkie369
4. Łuki i kontury376
5. Podprzestrzeń styczna i hiperpłaszczyzna styczna377
§ 49. Miara i całka na powierzchniach381
1. Objętość równoległościanu k-wymiarowego w R^m381
2. Miara i całka na hiperpowierzchni gładkiej384
3. Miara i całka na hiperpowierzchni kawałkami gładkiej390
§ 50. Formy różniczkowe393
1. Funkcje wieloliniowe skośnie symetryczne393
2. Iloczyn zewnętzny funkcji wieloliniowych skośnie symetrycznych395
3. Formy różniczkowe400
4. Iloczyn zewnętrzny form różniczkowych400
5. Różniczka zewnętrzna funkcji402
6. Postać kanoniczna formy różniczkowej402
7. Różniczka zewnętrzna formy różniczkowej404
8. Zamiana zmiennych w formach różniczkowych408
§ 51. Orientacja hiperpowierzchni411
1. Orientacja przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej411
2. Orientacja podprzestrzeni (k-1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej413
3. Orientacja hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie orientowalne414
§ 52. Całka formy różniczkowej na hiperpowierzchni zorientowanej423
1. Definicja i podstawowe własności całki423
2. Twierdzenie o rozkładzie jedności428
3. Twierdzenie Stokesa431
§ 53. Całka 1-formy po drodze445
1. Definicja i podstawowe własności całki445
2. Funkcja pierwotna i niezależność od drogi całkowania448
3. Przypadek formy zamkniętej451
4. Interpretacja w teorii pola457
§ 54. Różniczkowanie i całkowanie w dziedzinie zespolonej459
Rozdział VIII. Funkcje zmiennej zespolonej459
1. Pochodna. Funkcje holomorficzne459
2. Szeregi potęgowe460
3. Kryterium różniczkowalności463
4. Całkowanie po drodze. Funkcja pierwotna465
5. Logarytm466
6. Całka krzywoliniowa468
§ 55. Wzór całkowy Cauchy'ego i jego konsekwencje472
1. Wzór całkowy Cauchy'ego472
2. Rozwijalność funkcji holomorficznej w szereg potęgowy. Funkcje analityczne473
3. Zera funkcji holomorficznej475
4. Rozwinięcie funkcji holomorficznej w szeregu Laurenta475
5. Punkty osobliwe odosobnione477
6. Residua funkcji holomorficznej478
§ 56. Szeregi Fouriera482
Rozdział IX. Wstęp do analizy harmonicznej482
1. Szereg Fouriera funkcji okresowej482
2. Kryterium Diniego486
3. Funkcje o wahaniu skończonym491
4. Kryterium Jordana492
§ 57. Wzór całkowy Fouriera496
1. Wstęp496
2. Kryteria przedstawialności funkcji wzorem całkowym Fouriera497
Literatura501
Skorowidz502

WitoldKołodziej

ANALIZA

MATEMATYCZNA

WYDAWNICTWO

NAUKOWE

PWN