Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Własnościgranicyfunkcji
5)lim
6)lim
7)lim
8)lim
9)lim
x→∞
x→π
x→o
x→o+(2+x
x→∞
4
√x+9−3
sin(2(x+π)),
logx+1
3x+5x
3+x2)
2x
x
x.
2
,
x+1
,
√x
,
Rozwiązanie
1)Ponieważ
x→2
lim
x=2j
x→2
lim
3=3oraz
x→2
lim
7=7j
37
więc,korzystajączwłasnościgranicysumyoraziloczynudwóchfunkcji(patrz
własność1.1ii)iiv)),dostajemy
x→2
lim
(3x2+7x+7)=lim
x→2
3x2+lim
x→2
7x+lim
x→2
7=
=lim
3·lim
x·lim
x+lim
7·lim
x+lim
7=
x→2
x→2
x→2
x→2
x→2
x→2
=3·2·2+7·2+7=33.
2)Korzystajączwłasnościgranicyilorazuorazsumydwóchfunkcji(patrzwła-
sność1.1v)iii)),dostajemy
x→11
lim
x+3
x+4
=
x→11
lim
lim
(x+3)
(x+4)
=
x→11
lim
lim
x+lim
x+lim
x→11
3
4
=
−1+3
−1+4
=
2
3
.
x→11
x→11
x→11
3)Niechf(x)=x
x311
211
,x/=1.Ponieważ
x→1
lim
(x
2−1)=lim
x→1
x
2−lim
x→1
1=12−1=0
oraz
x→1
lim
(x
3−1)=lim
x→1
x
3−lim
x→1
1=13−1=0j
więclicznikimianownikfunkcjifdążądo0iniejesteśmywstaniebezpo-
średnionamocywłasności1.1v)wywnioskować,ilewynosigranicafunkcjif
wpunkcie1(mamyniewykonalnedzielenieo
o).Abyobliczyćszukanągranicę,
należyodpowiednioprzekształcićfunkcjęf.Ponieważ
f(x)=
x2−1
x3−1
=
$$$
(x−1)(x2+x+1)
$$$
(x−1)(x+1)
$
$
=
x2+x+1
x+1
j
x/=1j
