Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
Otwierdzeniachihipotezach.MatematykawedługDelty
niewdzięczne.Znamydwiemetodynwbijaniakołeczków”,mianowicie
metodęDedekindaimetodęCantora.Obydwiesąbardzoprecyzyjne
iobydwiemajątęsamąwielkąwadę:zaciemniająmniejistotnymiszcze-
gółamitechnicznymipodstawową,jasnąiprostąintencjękonstrukcji.
Dlategonieprzytoczymytużadnejznich.Wspomnimytylkoozasad-
niczejróżnicymiędzytymimetodami.Oczywiściekołeczkimusząbyć
zczegośzrobione,zjakiegośtworzywa,naturalniezjakiegośabstrak-
cyjnegotworzywapojęćmatematycznych.OtóżmetodyCantoraiDe-
dekindaróżniąsięgłówniemateriałem,zktóregozrobionesąkołeczki.
WmetodzieDedekindakołeczkiemzatykającymdziuręjestsamadziura!
Dziuręzatykasięniąsamą!Możnapowiedzieć,żewmetodzietejkoszty
zużyciamateriałówzostałydoprowadzonedominimum,dozera!
Konstrukcjazostaławykonana,kołeczkisąwbite.Pozostałonam
sprawdzić,czyrobotazostałarzetelniewykonana,czyprzypadkiem
wtrakciewbijanianiepowstałyjakieśnowedziury.Naszczęście
wszystkojestwabsolutnymporządku,zbiórliczbrzeczywistychjest
całkowicieszczelny.Przytoczonądefinicjędziurymożnawprawdziesfor-
mułowaćwodniesieniudoliczbrzeczywistych,niemajednakpotrzeby
wprowadzaniatakiegopojęcia,poprostuwogóleniematakichdziur.
Okazujesię,żezbiórliczbrzeczywistychmawłasnościjeszczelep-
szeniżzbiórliczbwymiernych.Możnatenzbióruporządkować,można
uogólnićpodstawowedziałaniaarytmetyczne,dodawanie,odejmowanie,
mnożenieidzielenienaliczbyrzeczywiste,aleponadtomożnawtym
zbiorzewykonywaćbezżadnychograniczeńwieleinnychpożytecznych
operacjimatematycznych,jakpierwiastkowanie,potęgowanie,logaryt-
mowanieitp.,którychwykonalnośćwdziedzinieliczbwymiernychbyła
mocnoutrudniona,jeśliniewręczniemożliwa.
Okazałosięponadto,żenapojęciuliczbyrzeczywistejmożnazbu-
dowaćcałąanalizęmatematyczną,olbrzymiągałąźwspółczesnejma-
tematyki.Upodstawwszystkichtwierdzeńtejczęścimatematykileży
nszczelność”zbioruliczbrzeczywistych(matematycyzawodowiużywają
przymiotnikanzupełny”zamiastnszczelny”).Twierdzeniaanalizyma-
tematycznejprzestająbyćprawdziwe,jeślizbiórliczbrzeczywistychza-
stąpićzbioremliczbwymiernych.Towłaśniemieliśmynamyśli,mówiąc
żartobliwieoprzeciekaniuwiedzymatematycznejprzezdziuryzbioru
liczbwymiernych.Pojęcieliczbyrzeczywistejjestniezbędnedlacałej
matematykiteoretycznej.Jestrównieżniezbędnedlaformowaniaogól-
nychmetodmatematykistosowanejażdomomentu,gdywgręwchodzą
przybliżonerachunkinakonkretnychliczbach.Wtedypowracamydo
bardziejelementarnychliczbwymiernych.
Niewątpliwiepojęcieliczbywymiernejjestprostszeniżpojęcieliczby
rzeczywistej.Dlalaikaliczbarzeczywista,wprowadzonametodąCantora
lubDedekinda,wydajesiętworemdośćmistycznym,wydajesięznacz-
niemniejrzeczywista–wpotocznymznaczeniutegosłowa–niżliczba
wymierna.Dlazawodowegomatematykaliczbarzeczywistajestpod-
stawowymnarzędziempracy,jestrównierzeczywistajakinnepojęcia
matematyczne.Liczbyrzeczywistesąrównierzeczywistejakliczbywy-
mierne,jedneidrugiesąbowiempoprawniezdefiniowanymipojęciami
istniejącymiwmózgumatematyka.Jedneidrugiemajątensamtyp
realności.
