Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział2
BEZPOŚREDNIAMETODA
LAPUNOWA–UKŁADY
STACJONARNE
TakzwanabezpośredniametodaLapunowa,którazostałaporazpierwszysformułowana
wdoktoracie35-letniegoAleksandraMichajłowiczaLapunowaw1892roku,wCharko-
wie,określadostatecznewarunkistabilnościpunktówrównowaginieliniowychukładów
dynamicznych.Pozwalanaudowodnieniestabilnościbezkoniecznościbadaniarozwiąza-
niarównaniaróżniczkowego,którymjestopisanyukład,tojest
x=f(x)3
˙
xERn3
(2.1)
ajedyniepoprzezanalizęwłaściwościpolawektorowegof(x)wprzestrzenistanów.
WtymmiejscuzostanieprzedstawionabezpośredniametodaLapunowawklasycz-
nejpostaci,dlaukładówstacjonarnych(2.1).Jakwspomnianowrozdzialepierwszym,
bezograniczeniaogólnościrozważańmożnaprzyjąć,żexe=0jestpunktemrównowagi
układu(2.1),czylif(0)=0,istabilnośćtegopunktubędziebadana.
2.1.Podstawowetwierdzenieostabilności
RozważmyotwarteotoczenieDpunktuzerowegowRn.
Definicja2.1.FunkcjaV:D→Rjestnazywana:
•dodatniookreśloną,jeśliV(0)=0i∀x/=0V(x)>0,
•dodatniopółokreśloną,jeśliV(0)=0i∀x/=0V(x)≥0,
•ujemnieokreśloną(ujemniepółokreśloną),jeśli–V(x)jestdodatniookreślona(do-
datniopółokreślona).
NiechV:D→Rbędziefunkcjąróżniczkowalnąwsposóbciągły(tojestjejpierw-
szepochodnecząstkowesąciągłe).Jeżeliobliczamyjejwartościwzdłużtrajektorii