Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
X
Wstęp
Drugaczęśćksiążkizawierato,costanowitrzonkażdegowspółczesnegowy-
kładuteoriimnogości:aksjomatyteoriiZermelo–Fraenkela,konstrukcjęliczbpo-
rządkowychorazarytmetykęliczbkardynalnych.Prezentujemytutakżeniektóre
spośródnajważniejszychtwierdzeńkombinatorycznejteoriimnogości,takiejak
twierdzenieRamseyaitwierdzenieErdösa–Rado.Omawiamytakżearytmetykę
liczbporządkowych,którąstosujemywdowodzietwierdzeniaGoodsteina.Twier-
dzenieto,niezależneodaksjomatykiPeano,świetnieilustrujebogactwoteorii
mnogościjakozawierającąarytmetykęleczodniejszerszą.Tęczęśćpodręcznika
kończąrozważaniaoaksjomacieMartina,któryjestważnydziękizastosowaniom
wanalizierzeczywistejiwteoriimiary.
Częśćtrzeciaksiążkijestnajobszerniejszaizawieranajważniejsze,zdaniem
autorów,działystosowanejteoriimnogości:kraty,drzewa,topologie,miary,alge-
bryBoole’aorazteorięRamseya.Niejesttojednaklistakompletna.Zewzględu
naograniczonerozmiaryniedotykatakichdziałów,któretradycyjniemieszcząsię
wpodręcznikachteoriimnogości(np.deskryptywnejteoriizbiorów).Wpolskiej
literaturzematematycznejtętematykęobejmujemonografiaKazimierzaKura-
towskiegoiAndrzejaMostowskiegoTeoriamnogości[27],którejostatniewydanie
ukazałosięnakłademPWNwroku1978,atakżeksiążkaWojciechaGuzickiego
iPawłaZbierskiegoPodstawyteoriimnogości[15]wydanaprzezPWNwtym
samymroku.Pisząctęczęśćksiążki,autoromprzyświecałaideaprzedstawienia
powiązańpomiędzyteoriąmnogościainnymidziałamimatematyki.Stądtaki
wybórtematów.Stosunkowodużomiejscazajęłyzagadnieniatopologiczne,cze-
gopowodembyłaambicjaautorów,byuczynićksiążkęwmaksymalnymstopniu
samowystarczalną.Znajomośćpojęćtopologicznych,takichjakzwartość,jestnie-
zbędnawinnychdziałachteoriimnogości,naprzykładwteoriialgebrBoole’a.
Powiązaniatopologiizteoriąmnogościsąjednakznaczniegłębszeitylkonanie-
któremogliśmytuzwrócićuwagę.
Czwartą,ostatniączęśćpoświęconopewnikowiwyborujakotemuspośródak-
sjomatówteoriimnogości,któryjestnajtrudniejszydozaakceptowania.Przed-
stawiamyturóżnewersjetegoaksjomatu,zarównorównoważne,jakitesłabsze,
leczwystarczającedoudowodnieniaważnychtwierdzeńzróżnychdziałówma-
tematyki.Próbujemyuzasadnićtezę,żewspółczesnamatematykaniemożesię
obyćbezpewnikawyborulub,niecoostrożniej,byłabybezniegonazbytuboga.
Argumentemnapoparcietejtezyjestprezentowanetutwierdzenie,żepewnik
wyborujestrównoważnytwierdzeniuoistnieniubazywkażdejprzestrzenilinio-
wej.Tematykapewnikawyborujestsilniereprezentowanawliteraturzeświatowej.
Jednakwpolskiejliteraturzematematycznejsytuacjajestodmienna.Konstruk-
cjaBanacha–Tarskiegoparadoksalnegorozkładukuli,którąopisujemywostatnim
rozdziale,byławcześniejprzedstawionajedyniewpierwszymwydaniuwspomnia-
nejmonografiiKuratowskegoiMostowskiegowielelattemu.
Wielefragmentówksiążkimieliśmyokazjęwykładaćnaszymstudentomna
UniwersytecieŚląskim.Ichpytaniaiwątpliwościprzyczyniłysiędoulepszenia
tekstu,zacojesteśmyimbardzowdzięczni.Wszczególnościbardzowdzięcz-
nijesteśmypanuWojciechowiBielasowizaniezwyklewnikliweczytanietekstu
