Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Odpornyestymatorprostegoliniowegomodelumieszanego
7
tycznychszybkościązbieżności.Zaznaczmy,żewbadaniachodpornościregresji
wdalszymciągupozostajewielekwestiiotwartych.Zaprzykładmożnawziąć
zagadnienieczułościnazmianędanychestymatoraowysokimpunkciezałamania.
Estymator,posiadającwysokipunktzałamania,możebyćwysocewrażliwyna
zmianywiększościobserwacjiwpróbie(zob.[Visek2002]–narys.2przed-
stawionosytuację,gdyusunięciejednejobserwacjidiametralniezmieniapostać
dopasowaniaodpornejM-regresji).Takżewtakimkontekścienależyzaznaczyć
wysokąjakośćestymatoramaksymalnejgłębiregresyjnejRousseeuwiHuberta.
Powszechnieznanyjestfakt,żemetodanajmniejszychkwadratówjestrozsze-
rzeniemnazagadnienieregresjiśredniejarytmetycznej.Rozszerzeniemediany
TukeyanazagadnienieregresjizostałozaproponowaneprzezJ.P.Rousseeuw
iM.Huberta[1998].RozważmyzbiórdanychZnop–1zmiennychobjaśniających
x
i=(x
i,1,…,x
i,p−1)izmiennejobjaśnianejy
idlai=1,…,n..Wzagadnieniu
regresjiszukamydopasowaniapostaciy=b
0+b
1x
1+…+b
p−1x
p−1dlapewnego
b=(b
0,…,b
p−1)∈
p,gdzieb
1,…,b
p−1toparametrynachylenia,b
0towyraz
wolny.GłębiaregresyjnaRousseeuwiHubertamożliwegodopasowaniabwskazuje,
jakdobrzerównanieregresjiwyznaczoneprzezbpasujedodanych.Autorzydefi-
niujągłębięregresyjnąmożliwegodopasowaniab∈pwzględempróby(x
i,y
i)jako:
GR(b,Z
n)=
1
n
min
λ=1
⎧
⎨
⎩
x
r
i(b)
iλ
T<0,x
iλ
T≠0
⎫
⎬
⎭
,
gdzieλ∈p,r
i(b)oznaczai-tąresztęregresji.
Estymatormaksymalnejgłębiregresyjnejdefiniujemyjako:
MAXGR(b,Z
n)=argmax
GR(b,Z
n).
b
(1)
(2)
EstymatormaksymalnejgłębiregresyjnejRousseeuwiHubertaodznaczasię
punktemzałamaniabliskim30%,dobrąszybkościązbieżnościorazefektywno-
ścią.Omodelugenerującymdanezakładamyjedynie,żewarunkowamediana
odpowiedzijestliniowawzględemzmiennychobjaśniających.Estymatortenradzi
sobiezheteroskedastycznością,autokorelacjąiskośnościąbłędu.
Narys.1przedstawionodanedotyczącemiesięcznejinflacjiimiesięcznego
bezrobociawPolscew2009r.wrazzdopasowaniamiliniiregresjiuzyskanymi
zapomocązastosowaniapięciukryteriów:najmniejszychkwadratów(LS),
uogólnionejmetodynajwiększejwiarygodności(M),najmniejszychodchyleń
absolutnychodmediany(LAD),najmniejszychprzyciętychkwadratów(LTS)oraz
maksymalnejgłębiregresyjnej(MAXGR).Zwróćmyuwagę,żegłębiadopasowania
(możliwejliniiregresji)równajestminimalnejliczbieobserwacji,którenapoty-
kamy,obracająclinięregresjidopozycjipionowej[por.Kosiorowskiiin.2012].
