"Analiza matematyczna"

Spis treści

§ 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 12

Wstęp 12

1. Zbiory 12

2. Działania na zbiorach 13

3. Produkty kartezjańskie 14

4. Relacje równoważności. Podział na klasy 14

5. Funkcje 15

6. Zbiory przeliczalne 19

§ 2. Liczby rzeczywiste 21

1. Zbiór R liczb rzeczywistych jako ciało 21

2. Relacja mniejszości. Zasada ciągłości 22

3. Przedziały. Wartość bezwzględna 24

4. Przykłady zastosowania zasady ciągłości 24

5. Funkcje o wartościach rzeczywistych 26

§ 3. Liczby zespolone 27

1. Ciało C liczb zespolonych 27

2. Geometryczna interpretacja liczb zespolonych. Moduł i argument liczby 28

3. Funkcje o wartościach zespolonych 29

§ 4. Przestrzenie metryczne 30

Rozdział I. Elementy topologii 30

1. Definicja 30

2. Średnica zbioru. Zbiory ograniczone 30

3. Granica ciągu punktów 31

§ 5. Granica ciągu liczbowego 33

1. Własności granicy ciągu liczbowego 33

2. Granica ciągu liczb rzeczywistych 35

3. Przykłady 38

4. Liczba e 40

§ 6. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R 42

1. Definicje 42

2. Granice ekstremalne ciągu 43

3. Granica ciągu 45

4. Funkcje o wartościach w R 47

§ 7. Przestrzenie metryczne zupełne 48

1. Definicja. Zupełność przestrzeni R 48

2. Twierdzenie o punkcie stałym 49

§ 8. Produkt kartezjański przestrzeni metrycznych 51

1. Metryka i zbieżność w produkcie 51

2. Produkt przestrzeni zupełnych 53

§ 9. Granica funkcji 54

1. Granica funkcji w punkcie 54

2. Granica funkcji o wartościach liczbowych 55

3. Granica funkcji o wartościach rzeczywistych 56

4. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej 57

5. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych 58

6. Przykłady 59

§ 10. Funkcje ciągłe 62

1. Definicja i podstawowe twierdzenia 62

2. Przykłady 64

§ 11. Ciągi fukcyjne 67

1. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna 67

2. Własność granicy ciągu zbieżnego jednostajnie 68

§ 12. Przestrzenie topologiczne 70

1. Topologia. Zbiory otwarte. Wnętrze zbioru 70

2. Zbiory domknięte. Domknięcie zbioru 72

3. Topologia w przestrzeni metrycznej 73

§ 13. Topologia w podzbiorze przestrzeni topologicznej 76

1. Topologia indukowana 76

2. Przypadek przestrzeni metrycznej 77

§ 14. Produkt kartezjański przestrzeni topologicznych 78

1. Topologia w produkcie 78

2. Przypadek produktu przestrzeni metrycznych 78

§ 15. Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych 79

1. Definicja 79

2. Homeomorfizmy 80

§ 16. Przestrzenie ośrodkowe 81

1. Definicja 81

2. Przypadek przestrzeni metrycznej 82

3. Produkt kartezjański przestrzeni ośrodkowych 83

§ 17. Przestrzenie zwarte 84

1. Definicja. Przypadek przestrzeni metrycznej 84

2. Produkt kartezjański przestrzeni zwartych 86

3. Funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych zwartych 87

4. Przestrzeń C(X; Y) 89

§ 18. Przestrzenie spójne 90

1. Definicja. Zbiory spójne w przestrzeni R 90

2. Kryteria spójności 91

3. Zastosowanie: funkcje cyklometryczne i funkcja logarytmiczna 92

§ 19. Przestrzenie unormowane 95

Rozdział II. Elementy analizy funkcjonalnej 95

1. Przestrzenie liniowe 95

2. Przykłady 97

3. Podstawowe pojęcia geometryczne 97

4. Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha 98

5. Produkt kartezjański przestrzeni unormowanych 100

6. Wektory statystyczne do zbioru. Hiperpłaszczyzna styczna 101

7. Funkcje o wartościach w przestrzeni unormowanej 102

8. Przestrzeń unormowana C(X; Y) 103

§ 20. Przestrzenie unitarne 104

1. Iloczyn skalarny. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta 104

2. Ortogonalność. rzut ortogonalny 106

3. Przestrzenie unitarne skończenie wymiarowe 107

§ 21. Funkcje liniowe 109

1. Definicja. Funkcje liniowe ciągłe 109

2. Zbiór funkcji liniowych ciągłych L(X; Y) jako przestrzeń unormowana 110

3. Przykłady 112

§ 22. Funkcje wieloliniowe 114

1. Definicja. Funkcje wieloliniowe ciągłe 114

2. Przestrzeń L(X₁,...,X_k; Y) 115

3. Przykłady 115

§ 23. Szeregi 118

1. Szeregi elementów przestrzeni unormowanych. Ogólne kryteria zbieżności 118

2. Przykłady 120

3. Szeregi zbieżne bezwzględnie 122

4. Szeregi liczb nieujemnych 124

5. Szeregi podwójne elementów przestrzeni unormowanej 126

6. Twierdzenie Cauchy'ego o mnożeniu szeregów 129

7. Szeregi podwójne liczb nieujemnych 130

8. Szeregi funkcyjne 132

§ 24. Izomorfizmy i izometrie 135

1. Przestrzenie izomorficzne 135

2. Przestrzenie izometryczne 137

3. Przykłady 138

§ 25. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej 141

Rozdział III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego 141

1. Definicje 141

2. Interpretacja geometryczna pochodnej 142

3. Podstawowe reguły różniczkowania 145

§ 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych 148

1. Przykłady 148

2. Pochodna nieskończona 151

3. Twierdzenie Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego 151

4. Reguły de L'Hospitala 153

§ 27. Ogólne twierdzenia o przyrostach dla funkcji zmiennej rzeczywistej 156

1. Problem uogólnienia twierdzeń Lagrange'a i Cauchy'ego na przypadek funkcji o wartościach w przestrzeniach unormowanych 156

2. Zastosowanie: pochodna granicy 157

§ 28. Pochodne wyższych rzędów funkcji zmiennej rzeczywistej 159

1. Definicje 159

2. Zastosowanie pochodnej rzędu drugiego do badania wypukłości funkcji 161

3. Wzór Taylora 163

4. Szereg Taylora 167

5. Funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej 168

§ 29. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych rzeczywistych 170

1. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego 170

2. Twierdzenie o przyrostach. Warunek Lipschitza 171

3. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów 172

§ 30. Pochodne kierunkowe 174

1. Definicje 174

2. Związek z pochodnymi cząstkowymi 174

§ 31. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona 176

1. Funkcja pierwotna 176

2. Całka nieoznaczona 178

3. Reguły całkowania 178

4. Całkowanie funkcji elementarnych 179

§ 32. Całka oznaczona funkcji ciągłej 185

1. Definicja 185

2. Wzory rachunkowe 186

3. Nierówności. Twierdzenie o wartości średniej 187

§ 33. Ogólna teoria równań różniczkowych 190

Rozdziały IV. Równania różniczkowe zwyczajne 190

1. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Zagadnienia początkowe 190

2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego 191

3. Układy równań różniczkowych rzędu pierwszego 198

4. Równania różniczkowe wyższych rzędów 199

§ 34. Równania różniczkowe liniowe 202

1. Układy równań liniowych rzędu pierwszego 202

2. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach 205

3. Równanie liniowe rzędu n 208

4. Równanie liniowe rzędu n o stałych współczynnikach 211

§ 35. Pochodna funkcji określonej na podzbiorze przestrzeni unormowanej 214

Rozdział V. Ogólna teoria różniczkowa 214

1. Definicja. Związek z pochodną kierunkową 214

2. Przypadek funkcji zmiennej rzeczywistej. Równoważność obu definicji pochodnej 215

3. Interpretacja geometryczna pochodnej 216

4. Przykłady 218

5. Liniowość operacji różniczkowania 219

6. Twierdzenia o przyrostach 221

§ 36. Pochodna funkcji wielu zmiennych. Związek z pochodnymi cząstkowymi 223

1. Pochodna funkcja określonej na podzbiorze przestrzeni R^m 223

2. Uogólnienie: pochodna funkcji określonej na podzbiorze produktu przestrzeni unormowanych 223

3. Pochodna funkcji o wartościach w produkcie przestrzeni unormowanych 227

4. Synteza obu przypadków 228

§ 37. Różniczkowanie złożenia 230

1. Ogólne twierdzenie o pochodnej złożenia 230

2. Różniczkowanie złożenia w przestrzeniach arytmetycznych 232

3. Uogólnione twierdzenie o pochodnej iloczynu 233

§ 38. Dyfeomorfizmy 234

1. Różniczkowanie funkcji odwrotnej 234

2. Odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy 237

§ 39. Funkcje uwikłane 239

1. Ogólne twierdzenie o funkcjach uwikłanych 239

2. Funkcje uwikłane określone układem równań w przestrzeniach arytmetycznych 242

§ 40. Pochodne wyższych rzędów 244

1. Wstęp 244

2. Pochodna rzędu drugiego 245

3. Pochodna rzędu n 247

4. Przypadek funkcji zmiennej rzeczywistej. Równoważność obu definicji pochodnej rzędu n 249

5. Funkcje klasy C_n 250

6. Pochodna rzędu n funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Związek z pochodnymi cząstkowymi 252

7. Wzór Taylora 252

§ 41. Ekstrema funkcji 259

1. Definicja 259

2. Kryteria 259

§ 42. Ogólna teoria miary 265

Rozdział VI. Teoria miary i całki 265

1. Wstęp 265

2. ?-ciała 265

3. Miara 266

4. Miara zewnętrzna 270

§ 43. Miara Lebesgue'a w R^m 275

1. Przedziały. Objętość przedziału 275

2. Miara Lebesgue'a 278

3. Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a 280

§ 44. Funkcje mierzalne 288

1. Definicja 288

2. Działania na funkcjach mierzalnych 290

§ 45. Całka funkcji mierzalnej nieujemnej 294

1. Całka funkcji prostej nieujemnej 294

2. Definicja całki funkcji mierzalnej nieujemnej 298

3. Podstawowe własności całki 300

4. Twierdzenie o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki 304

5. Całka jako funkcja zbioru 304

§ 46. Całka funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha 306

1. Całka funkcji prostej 306

2. Całkowalność i definicja całki 309

3. Podstawowe własności funkcji całkowalnych 311

4. Przypadek funkcji o wartościach rzeczywistych 317

5. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki 318

6. Całka jako funkcja zbioru 321

§ 47. Całka Lebesgue'a 323

1. Wstęp 323

2. Całka funkcji ciągłej 323

3. Całka funkcji jednej zmiennej. Całki niewłaściwe 326

4. Zasada Cavalieriego 333

5. Geometryczna interpretacja całki funkcji mierzalnej nieujemnej 339

6. Całkowanie przez sprowadzenie do całki iterowanej 340

7. Całkowanie przez podstawienie 348

8. Całka jako funkcja parametrów 359

§ 48. Hiperpowierzchnie 363

Rozdział VII. Całki na hiperpowierzchniach 363

1. Definicja 363

2. Odwzorowania regularne pozdbiorów przestrzeni R^k w przestrzeniach R^m (k?m). Dyfeomorfizmy 366

3. Hiperpowierzchnie gładkie i kawałkami gładkie 369

4. Łuki i kontury 376

5. Podprzestrzeń styczna i hiperpłaszczyzna styczna 377

§ 49. Miara i całka na powierzchniach 381

1. Objętość równoległościanu k-wymiarowego w R^m 381

2. Miara i całka na hiperpowierzchni gładkiej 384

3. Miara i całka na hiperpowierzchni kawałkami gładkiej 390

§ 50. Formy różniczkowe 393

1. Funkcje wieloliniowe skośnie symetryczne 393

2. Iloczyn zewnętzny funkcji wieloliniowych skośnie symetrycznych 395

3. Formy różniczkowe 400

4. Iloczyn zewnętrzny form różniczkowych 400

5. Różniczka zewnętrzna funkcji 402

6. Postać kanoniczna formy różniczkowej 402

7. Różniczka zewnętrzna formy różniczkowej 404

8. Zamiana zmiennych w formach różniczkowych 408

§ 51. Orientacja hiperpowierzchni 411

1. Orientacja przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej 411

2. Orientacja podprzestrzeni (k-1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej 413

3. Orientacja hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie orientowalne 414

§ 52. Całka formy różniczkowej na hiperpowierzchni zorientowanej 423

1. Definicja i podstawowe własności całki 423

2. Twierdzenie o rozkładzie jedności 428

3. Twierdzenie Stokesa 431

§ 53. Całka 1-formy po drodze 445

1. Definicja i podstawowe własności całki 445

2. Funkcja pierwotna i niezależność od drogi całkowania 448

3. Przypadek formy zamkniętej 451

4. Interpretacja w teorii pola 457

§ 54. Różniczkowanie i całkowanie w dziedzinie zespolonej 459

Rozdział VIII. Funkcje zmiennej zespolonej 459

1. Pochodna. Funkcje holomorficzne 459

2. Szeregi potęgowe 460

3. Kryterium różniczkowalności 463

4. Całkowanie po drodze. Funkcja pierwotna 465

5. Logarytm 466

6. Całka krzywoliniowa 468

§ 55. Wzór całkowy Cauchy'ego i jego konsekwencje 472

1. Wzór całkowy Cauchy'ego 472

2. Rozwijalność funkcji holomorficznej w szereg potęgowy. Funkcje analityczne 473

3. Zera funkcji holomorficznej 475

4. Rozwinięcie funkcji holomorficznej w szeregu Laurenta 475

5. Punkty osobliwe odosobnione 477

6. Residua funkcji holomorficznej 478

§ 56. Szeregi Fouriera 482

Rozdział IX. Wstęp do analizy harmonicznej 482

1. Szereg Fouriera funkcji okresowej 482

2. Kryterium Diniego 486

3. Funkcje o wahaniu skończonym 491

4. Kryterium Jordana 492

§ 57. Wzór całkowy Fouriera 496

1. Wstęp 496

2. Kryteria przedstawialności funkcji wzorem całkowym Fouriera 497

Literatura 501

Skorowidz 502