"Układy dynamiczne"

Spis treści

Wstęp 10

1.1. Podstawowe pojęcia i definicje 12

1. Wybrane fakty z analizy i algebry liniowej 12

1.1.1. Symbole Landaua O i o 14

1.2. Macierze 15

1.2.1. Funkcje macierzy 15

1.2.2. Wartości i wektory własne macierzy 17

1.2.3. Dodatniość w przestrzeniach wektorowych 24

1.2.4. Macierze Metzlera i twierdzenie Perrona-Frobeniusa 25

1.3. Uogólnienia pojęcia różniczkowalności 31

1.4. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 34

1.4.1. Twierdzenie Taylora 35

1.5. Twierdzenie o funkcji uwikłanej 36

2.1. Równania różnicowe 38

2. Równania różniczkowe i różnicowe 38

2.1.1. Liniowe równanie różnicowe 39

2.1.2. Równania różnicowe sprowadzalne do równania liniowego 41

2.2. Przegląd równań różniczkowych zwyczajnych mających jawne rozwiązania 45

2.2.1. Równania o zmiennych rozdzielonych 46

2.2.2. Równania liniowe 54

2.2.3. Wybrane równania wyższych rzędów 56

2.2.4. Równania redukowalne do równań pierwszego rzędu 57

3.1. Podstawowe pojęcia 66

3. Zagadnienie Cauchy’ego 66

3.2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań 67

3.2.1. Pojęcia i wyniki pomocnicze 67

3.2.2. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa 69

3.2.3. Przedłużanie rozwiązań 71

3.2.4. Rozwiązalność układów równań liniowych 77

3.2.5. Inne twierdzenia o istnieniu rozwiązań 87

3.2.6. Ciągła zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów 90

3.2.7. Nieujemność rozwiązań 93

3.2.8. Nieujemność rozwiązań układów równań liniowych 94

3.3. Nierówności różniczkowe 95

4.1. Pojęcia podstawowe 108

4. Układy dynamiczne 108

4.2. Długookresowa dynamika układów liniowych 110

4.3. Trajektorie, portrety fazowe i zbiory graniczne 115

4.3.1. Trajektorie i ich własności 115

4.3.2. Elementarne metody szkicowania portretów fazowych 118

4.3.3. Zbiory graniczne 127

4.4. Stabilność rozwiązań 131

4.5. Topologiczna równoważność układów dynamicznych 141

5.1. Lokalna stabilność punktu stałego 146

5. Funkcja Lapunowa i jej uogólnienia 146

5.2. Globalna stabilność punktu stałego 154

5.3. Zasada LaSalle’a 158

5.4. Stabilność brzegowych punktów stałych 161

5.5. Nieróżniczkowalne funkcje Lapunowa 165

5.6. Twierdzenia odwrotne do twierdzenia Lapunowa i ich zastosowania 173

6.1. Rozmaitość stabilna, niestabilna, centralna 184

6. Dalsze aspekty teorii układów dynamicznych 184

6.2. Odwzorowanie Poincarégo 204

6.3. Twierdzenie Poincarégo-Bendixona 210

6.4. Kryterium Bendixona i uogólnienie Dulaca 219

6.5. Bifurkacje 226

6.5.1. Bifurkacje lokalne 226

6.5.2. Bifurkacja Hopfa 231

6.5.3. Bifurkacje globalne 238

7. Modele wieloskalowe i zaburzone układy równań różniczkowych 246

7.1. Twierdzenie Tichonowa 248

7.2. Jednostajne twierdzenie Tichonowa 253

7.3. Opóźniona wymiana stabilności 258

7.3.1. Bifurkacja transkrytyczna 260

7.3.2. Bifurkacja widłowa 264

7.3.3. Bifurkacja wsteczna 265

8. Fale wędrujące 276

8.1. Fale wędrujące w kontekście układów dynamicznych 277

8.2. Metody konstrukcji rozwiązań w postaci fal wędrujących 295

8.2.1. Metoda tangensa hiperbolicznego i jej uogólnienia 296

8.2.2. Potrzebne i niepotrzebne uogólnienia 301

9.1. Dodatkowe własności macierzy Metzlera 306

9. Podstawowa liczba reprodukcyjna 306

9.2. Definicja podstawowej liczby reprodukcyjnej 307

9.2.1. Macierz następnego pokolenia 307

9.3. Matematyczna definicja R₀ 310

9.4. R₀ a lokalna i globalna stabilność DFE 323

Skorowidz 336

Bibliografia 340