Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Ciągizbieżnewprzestrzeniachmetrycznych
1.2.Ciągizbieżnewprzestrzeniachmetrycznych
11
Definicja1.12.NiechXbędzieprzestrzeniąmetrycznązmetrykąd.Mó-
wimy,żeciąg(xn)⊂Xjestograniczonywtedyitylkowtedy,gdy
x0∈X
V
M>o
V
n∈N
^
d(xnjxo)<M.
Definicja1.13.NiechXbędzieprzestrzeniąmetrycznązmetrykąd.Mó-
wimy,żeciąg(xn)⊂Xjestzbieżnydoxo∈Xwtedyitylkowtedy,gdy
E>o
^
Nε∈N
V
n>Nε
^
d(xnjxo)<ε.
Piszemywówczaslim
n→∞
xn=xo.
Uwaga.Warunekpodanywdefinicji1.13oznacza,że
n→∞
lim
xn=xo⇔lim
n→∞
d(xnjxo)=0.
Przykład1.14.RozważmyprzestrzeńRkzmetrykąpitagorejską.Ciągx(n)=
=[x(n)
1
x
(n)
2
...x
(n)
k
]
T
jestzbieżnydopunktux(o)=[x(o)
1
x
(o)
2
...x
(o)
k
]
T
wtedy
itylkowtedy,gdylim
n→∞
x
(n)
j
=x
(o)
j
dlakażdegoj=1j2j...jk.
Twierdzenie1.15.Każdyciągzbieżnyjestograniczony.
Definicja1.16.NiechXbędzieprzestrzeniąmetrycznązmetrykąd.Mó-
wimy,żeciąg(xn)spełniawarunekCauchy’egowtedyitylkowtedy,gdy
E>o
^
Nε∈N
V
n,m>Nε
^
d(xnjxm)<ε.
Ociągu(xn)mówimywówczas,żejestciągiemCauchy’ego.
Twierdzenie1.17.Każdyciągzbieżny(xn)jestciągiemCauchy’ego.
Twierdzenieodwrotnewogólnymprzypadkujestfałszywe.Istniejąprzestrze-
niemetryczne,wktórychciągCauchy’egoniemagranicy.
Przykład1.18.Rozważmyzbiór(przedział)X=(0j2)zmetrykąpitago-
rejską.Ciąg(1
n)jestciągiemCauchy’ego,aleniejestzbieżnywprzestrzeniX.
Twierdzenie1.19.KażdyciągCauchy’egojestograniczony.
Definicja1.20.PrzestrzeńmetrycznąXnazywamyprzestrzeniązupełną
wtedyitylkowtedy,gdykażdyciągCauchy’ego(xn)⊂Xjestzbieżnydoxo∈X.
PrzestrzeńliniowąunormowanązupełnąnazywamyprzestrzeniąBanacha.Prze-
strzeńunitarną(przestrzeńliniowąziloczynemskalarnym(x|y)indukującym
normę"x"=d(x|x))zupełnąnazywamyprzestrzeniąHilberta.
