Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
Przestrzeńmetrycznazupełna
1.1.Przestrzeńmetryczna
Definicja1.1.NiechX/=∅.Funkcjęd:X×X→Rnazywamymetryką
wtedyitylkowtedy,gdy:
a)^
((d(xjy)>0∧d(xjy)=0⇔x=y)),
b)^
x,y∈X
x,y∈X
d(xjy)=d(yjx),
c)
^
d(xjy)<d(xjz)+d(zjy).
x,y,z∈X
Paręuporządkowaną(Xjd)nazywamyprzestrzeniąmetryczną,warunekc)
wdefinicji1.1nazywamynierównościątrójkąta.
Przykład1.2.PodamyprzykładymetrykwprzestrzeniRn:
n
a)d(xjy)=
Σ
|xi−yi|–metrykamiejska,
il1
b)d(xjy)=Jn
il1
Σ
(xi−yi)
2–metrykapitagorejska,
c)d(xjy)=max{|xi−yi|:ź=1j2j...jn}–metrykamaksimum.
Zauważmy,żedlan=1wprowadzonepowyżejmetrykisprowadzająsiędo
funkcjid:R×R→R,d(xjy)=|x−y|.
PrzestrzeńRnzmetrykąpitagorejskąnazywamyn-wymiarowąprzestrzenią
euklidesową.
Definicja1.3.WdowolnymzbiorzeX/=∅możnaokreślićtzw.metrykę
dyskretnądanąwzorem
d(xjy)={0dlax=yj
1dlax/=y.
Przykład1.4.NiechB(XjR)oznaczazbiórwszystkichfunkcjiograniczo-
nychf:X→R.WprzestrzeniB(XjR)określamymetrykęwzorem
d(fjg)=sup{|f(x)−g(x)|:x∈X}.
