Wstęp do algebry, cz. 2

Aleksiej I. Kostrikin

Uzyskaj dostęp

Zakup książkę

ISBN/ISSN:

978-83-01-14267-4

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2007

Liczba stron:

384

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Bibliografia:

Kostrikin, Aleksiej I.. Wstęp do algebry, cz. 2. Red. . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007, 384 s. ISBN 978-83-01-14267-4

Bibliografia refWorks:

RT Book, Whole

SR Electronic(1)

A1 Kostrikin, A.I.

T1 Wstęp do algebry, cz. 2

PB Wydawnictwo Naukowe PWN

PP Warszawa

YR 2007

SN 978-83-01-14267-4

Bibliografia BibTex:

@Book{ 1603, author = "Kostrikin, Aleksiej I.", editor = "", title = "Wstęp do algebry, cz. 2", publisher = "Wydawnictwo Naukowe PWN", year = "2007", address = "Warszawa", isbn = "978-83-01-14267-4" }

Bibliografia endNote:

TY - BOOK

AU - Kostrikin, Aleksiej I.

ED -

TI - Wstęp do algebry, cz. 2

PB - Wydawnictwo Naukowe PWN

CY - Warszawa

PY - 2007

SN - 978-83-01-14267-4

ER -

Netografia (standard APA):

Kostrikin, Aleksiej I.. Wstęp do algebry, cz. 2 [baza danych online] Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007 [dostęp: 04 06 2024]. Dostęp w Ibuk Libra: https://libra.ibuk.pl/reader/wstep-do-algebry-cz-2-aleksiej-i-kostrikin-1603.

matematyka, algebra, analiza matematyczna, algebra liniowa

Druga z trzech części znakomitego podręcznika, wprowadzającego czytelnika w świat współczesnej algebry i jej zastosowań. Omówiono w nim najważniejsze problemy algebry liniowej. Pokazano również jej zastosowania w różnych zagadnieniach anali...

Więcej

ISBN/ISSN:

978-83-01-14267-4

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2007

Liczba stron:

384

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

SPIS TREŚCI7
Przedmowa12
Literatura uzupełniająca13
§1. Abstrakcyjne przestrzenie liniowe15
ROZDZIAŁ 1. PRZESTRZENIE I FORMY15
1. Motywacja i aksjomatyka15
2. Powłoki liniowe. Podprzestrzenie17
3. Uwagi o interpretacji geometrycznej20
§2. Wymiar i baza22
Ćwiczenia22
1. Liniowa zależność22
2. Wymiar i baza przestrzeni liniowej24
3. Współrzędne. Izomorfizm przestrzeni27
4. Część wspólna i suma algebraiczna podprzestrzeni30
5. Sumy proste32
6. Przestrzenie ilorazowe35
Ćwiczenia36
§3. Przestrzeń dualna38
1. Formy liniowe38
2. Przestrzeń dualna i baza dualna39
3. Refleksywność41
4. Kryterium liniowej niezależności42
5. Interpretacja geometryczna rozwiązań układów liniowych jednorodnych44
Ćwiczenia45
§4. Formy dwuliniowe i kwadratowe46
1. Odwzorowania wieloliniowe46
2. Formy dwuliniowe47
3. Transformacja macierzy formy dwuliniowej48
4. Formy symetryczne i antysymetryczne49
5. Formy kwadratowe50
6. Postać kanoniczna formy kwadratowej52
7. Formy kwadratowe rzeczywiste54
8. Formy i macierze dodatnio określone56
9. Postać kanoniczna formy antysymetrycznej60
10. Pfaffian62
Ćwiczenia64
§1. Przekształcenia liniowe przestrzeni liniowych65
ROZDZIAŁ 2. OPERATORY LINIOWE65
1. Język przekształceń liniowych65
2. Macierz przekształcenia liniowego66
3. Wymiar jądra i obrazu68
Ćwiczenia69
§2. Algebra operatorów liniowych70
1. Definicje i przykłady70
2. Algebra operatorów71
3. Macierze operatora liniowego w rożnych bazach74
4. Wyznacznik i ślad operatora liniowego76
Ćwiczenia79
§3. Podprzestrzenie niezmiennicze i wektory własne80
1. Rzuty80
2. Podprzestrzenie niezmiennicze81
3. Wektory własne. Wielomian charakterystyczny83
4. Kryterium diagonalizowalności85
5. Istnienie podprzestrzeni niezmienniczych88
6. Operator sprzężony88
7. Operator ilorazowy90
Ćwiczenia91
§4. Postać kanoniczna Jordana92
1. Twierdzenie Hamiltona–Cayleya93
2. Postać kanoniczna Jordana: twierdzenie i wnioski96
3. Podprzestrzenie pierwiastkowe96
4. Przypadek operatora nilpotentnego99
5. Jednoznaczność100
6. Inne podejścia do PKJ103
7. Inne postaci normalne105
Ćwiczenia106
§1. Przestrzenie euklidesowe109
ROZDZIAŁ 3. PRZESTRZENIE LINIOWE Z ILOCZYNEM SKALARNYM109
1. Rozważania heurystyczne i definicje109
2. Podstawowe pojęcia metryczne111
3. Ortogonalizacja113
4. Izomorfizmy przestrzeni euklidesowych117
5. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne119
6. Przestrzenie symplektyczne120
Ćwiczenia123
§2. Przestrzenie unitarne124
1. Formy hermitowskie124
2. Związki metryczne126
3. Ortogonalność127
4. Macierze unitarne128
5. Przestrzenie unormowane130
Ćwiczenia132
§3. Operatory liniowe na przestrzeniach z iloczynem skalarnym133
1. Związki operatorów liniowych i form _-liniowych133
2. Klasy operatorów liniowych135
3. Postać kanoniczna operatorów hermitowskich139
4. Sprowadzanie formy kwadratowej do osi głównych141
5. Sprowadzanie pary form kwadratowych do postaci kanonicznej142
6. Postać kanoniczna izometrii liniowych143
7. Operatory normalne146
8. Operatory dodatnio określone150
9. Rozkład biegunowy152
Ćwiczenia153
§4. Kompleksyfikacja i urzeczywistnienie155
1. Struktura zespolona155
2. Urzeczywistnienie157
3. Kompleksyfikacja160
4. Kompleksyfikacja ! urzeczywistnienie ! kompleksyfikacja162
Ćwiczenia163
§5. Wielomiany ortogonalne164
1. Zagadnienie aproksymacji164
2. Metoda najmniejszych kwadratów165
3. Układy liniowe i metoda najmniejszych kwadratów167
4. Wielomiany trygonometryczne169
5. Uwaga o operatorach samosprzężonych170
6. Wielomiany Legendre’a173
7. Ortogonalność z wagami176
8. Wielomiany Czebyszewa (pierwszego rodzaju)177
9. Wielomiany Hermite’a178
Ćwiczenia179
§1. Przestrzenie afiniczne181
ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE PUNKTOWE AFINICZNE I EUKLIDESOWE181
1. Definicja przestrzeni afinicznej181
2. Izomorfizm183
3. Współrzędne184
4. Podprzestrzenie afiniczne185
5. Współrzędne barycentryczne188
6. Funkcje afiniczne i układy równań liniowych192
7. Wzajemne położenie podprzestrzeni afinicznych194
§2. Przestrzenie (afiniczne) euklidesowe196
Ćwiczenia196
1. Metryka euklidesowa196
2. Odległość punktu od podprzestrzeni afinicznej198
3. Odległość dwóch podprzestrzeni afinicznych199
4. Wyznacznik Grama i objętość równoległościanu201
Ćwiczenia202
§3. Grupy i geometria203
1. Grupa afiniczna203
2. Izometrie przestrzeni euklidesowej206
3. Grupa izometrii208
4. Geometria liniowa odpowiadająca danej grupie211
5. Przekształcenia afiniczne przestrzeni euklidesowej214
6. Zbiory wypukłe215
§4. Przestrzenie z metryką nieokreśloną218
Ćwiczenia218
1. Metryka nieokreślona218
2. Izometrie pseudoeuklidesowe219
3. Grupa Lorentza220
4. Właściwa grupa Lorentza222
Ćwiczenia226
§1. Funkcje kwadratowe227
ROZDZIAŁ 5. KWADRYKI227
1. Funkcje kwadratowe na przestrzeni afinicznej227
2. Punkty środkowe funkcji kwadratowej229
3. Sprowadzanie funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej230
4. Funkcje kwadratowe na przestrzeni euklidesowej232
§2. Kwadryki w przestrzeni afinicznej i euklidesowej235
Ćwiczenia235
1. Ogólne pojęcie kwadryki235
2. Środek kwadryki238
3. Postacie kanoniczne kwadryk w przestrzeni afinicznej238
4. Uwagi ogólne o rodzajach kwadryk241
5. Kwadryki w przestrzeni euklidesowej243
Ćwiczenia246
§3. Przestrzenie rzutowe247
1. Modele płaszczyzny rzutowej247
2. Przestrzenie rzutowe wyższych wymiarów250
3. Współrzędne jednorodne251
4. Mapy afiniczne252
5. Pojęcie rzutowego zbioru algebraicznego253
6. Pełna grupa rzutowa255
7. Geometria rzutowa258
8. Dwustosunek260
9. Zapis dwustosunku we współrzędnych262
Ćwiczenia265
§4. Kwadryki w przestrzeni rzutowej266
1. Klasyfikacja266
2. Przykłady i przedstawienia afiniczne kwadryk rzutowych267
3. Przecięcie kwadryki rzutowej z prostą268
4. Ogólne uwagi o kwadrykach rzutowych269
Ćwiczenia270
§1. Wstępne informacje o tensorach271
ROZDZIAŁ 6. TENSORY271
1. Pojęcie tensora271
2. Iloczyn tensorowy273
3. Współrzędne tensora274
4. Tensory w rożnych układach współrzędnych277
5. Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych279
Ćwiczenia283
§2. Kontrakcja, symetryzacja i antysymetryzacja tensorów284
1. Kontrakcja tensora284
2. Tensor strukturalny algebry287
3. Tensory symetryczne290
4. Tensory antysymetryczne294
5. Algebra tensorowa296
Ćwiczenia297
§3. Algebra zewnętrzna298
1. Iloczyn zewnętrzny298
2. Algebra zewnętrzna przestrzeni liniowej299
3. Związek z wyznacznikami303
4. Podprzestrzenie liniowe i p-wektory305
5. Kryteria prostoty p-wektorow307
Ćwiczenia309
§1. Norma operatorowa i funkcje operatorów liniowych311
ROZDZIAŁ 7. ZASTOSOWANIA311
1. Norma operatora liniowego311
2. Funkcje operatorów liniowych (macierzy)315
3. Funkcja wykładnicza316
4. Podgrupy jednoparametrowe pełnej grupy liniowej319
5. Promień spektralny323
Ćwiczenia324
§2. Liniowe równania rożniczkowe325
1. Pochodna funkcji wykładniczej325
2. Równania rożniczkowe327
3. Liniowe równanie rożniczkowe zwyczajne stopnia n328
§3. Wielościany wypukłe i programowanie liniowe329
1. Sformułowanie problemu329
2. Motywacja329
3. Podstawowe pojęcia geometryczne331
Ćwiczenia334
§4. Macierze nieujemne335
1. Motywacja ekonomiczna335
2. Własności macierzy nieujemnych336
3. Macierze stochastyczne337
§5. Geometria Łobaczewskiego341
1. Przestrzeń Łobaczewskiego341
2. Izometrie przestrzeni Łobaczewskiego343
3. Metryka Łobaczewskiego345
4. Płaszczyzna Łobaczewskiego347
§6. Problemy nierozwiązane354
1. Problem Strassena354
2. Rozkłady ortogonalne354
3. Skończone płaszczyzny rzutowe355
4. Bazy przestrzeni liniowych i kwadraty łacińskie357
Odpowiedzi i wskazówki do ćwiczeń358
Pytania egzaminacyjne374
Uwagi metodyczne374
Skorowidz377

ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY

Przykład6.Niechgbędzieustalonąciągłąfunkcjąrzeczywistąnaprze-

dziale[0,1],różnąodzeranapewnymprzedzialeJ⊂[0,1].Oznaczmyprzez

zbiórfunkcjipostacit→f(t)g(t),gdziefjestwielomianemstopnia

<n−1.WtedyPn

gjestpodprzestrzeniąliniowąwRJ

Przykład7(przestrzeńmacierzy).Zgodniezregułamirachunkuma-

cierzowego(częśćI,rozdz.2)każdąmacierzprostokątnąwymiarówm×n

owyrazachzciałaKmożnapomnożyćprzezelementciałaK,atakżedwie

takiemacierzemożnadodać,otrzymującmacierztegosamegotypu.Wszyst-

kieaksjomatysątuspełnione,zbiórmacierzym×ntworzywięcprzestrzeń

liniową.Dlam=nzbiórmacierzykwadratowychMn(K)jestjednocześnie

pierścieniemiprzestrzeniąliniowąnadK;mówimy,żeMn(K)jestalgebrą,

zgodniezogólnądeﬁnicją,którąpodamywrozdziale2(§2)iktórąspełniają

równieżobiektyzprzykładów2i4.

Przykład8(Amer.Math.Monthly97(1990),60–62).Macierza∈Mn(Q)

nazywamypółmagicznąlubkwadratempółmagicznym,jeślisumyelementów

wkażdymwierszuiwkażdejkolumniemacierzysątakiesame:

aik=

akj=σ(A)∈Q,

i,j=1,...,n.

k=1

Jeśliponadtoσ(A)=Σ

i=1aii=Σ

i=1ai,n+1-i(sumynaobuprzekątnych),

tomacierzAnazywamymagiczną(lubkwadratemmagicznym).

Kwadratymagicznebyłyobiektemzainteresowaniaodbardzodawna.Nas

interesująoneztegodośćoczywistegopowodu,żezarównozbiórSMagn(Q)

kwadratówpółmagicznych,jakizbiórMagn(Q)wszystkichkwadratówma-

gicznychstopniansąprzestrzeniamiliniowyminadQ,przyczym

Magn(Q)⊂SMagn(Q)⊂Mn(Q).

Musimysięzastrzec,żenierozpatrujemytutajczystokombinatorycznego

zbiorukwadratówmagicznychn×noelementachnaturalnych1,...,n2.Za-

interesowanegoCzytelnikaodsyłamydoksiążkiM.M.Postnikowa„Kwadraty

magiczne”,Nauka,Moskwa1964.

3.Uwagiointerpretacjigeometrycznej.PrzestrzeńliniowąnadciałemK

nazywamyodpowiedniorzeczywistąlubzespoloną,jeśliK=RlubK=C;skalary

sąwówczaspoprostuliczbami.Tewłaśnieprzypadkisąnajbardziejinteresujące

zpunktuwidzeniazastosowań,choćznacznaczęśćteoriiniezależyodnatury

ciałaK.

Najbardziejnaturalnymmodelemprzestrzeniliniowejjestniewątpliwiezbiór

wszystkichodcinkówskierowanych,wychodzącychzustalonegopunktuprzestrze-

Brak wyników

Wstęp do algebry, cz. 2

Treść książki

Znajdź bibliotekę blisko siebie, i uzyskaj dostęp do ebooka w systemie IBUK Libra