Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1
CAŁKA
RIEMANNA–STIELTJESA
1.1WŁASNOŚCICAŁKIRIEMANNA–STIELTJESA
Napoczątkupodamypodstawowedefinicje,oznaczeniaitwierdzenia.PodziałemPdo-
mkniętegoprzedziału[a,b]nazywamyskończonyzbiórpunktów{xo,x1,...,xn}taki,
że
a=xo<x1<...<xn-1<xn=b.
Liczbęµ(P)=max{xi−xi-1:i=1,2,...,n}nazywamyśrednicąpodziałuP.
Niechf:[a,b]→Rbędziefunkcjąograniczonąiniechα:[a,b]→Rbędziefunkcją
rosnącą.SumęgórnąidolnąDarbouxfunkcjifwzględemαodpowiadającąpodziałowi
Pdefiniujemyodpowiedniowzorami
n
n
U(P,f,α)=
Σ
Mi∆αi,
L(P,f,α)=
Σ
mi∆αi,
i=1
i=1
gdzie
Mi=
sup
x∈[xi−1,xi]
f(x),
mi=
x∈[xi−1,xi]
inf
f(x)
oraz
∆αi=α(xi)−α(xi-1).
Połóżmy
∫
a
b
fdα=infU(P,f,α),
∫
a
b
fdα=supL(P,f,α),
gdzieinfimumisupremumsąwziętepowszystkichmożliwychpodziałachPprzedziału
[a,b].Liczby∫
afdαi∫
b
afdαnazywamyodpowiedniogórnąidolnącałkąRiemanna–Stiel-
b
tjesa.JeśligórnaidolnacałkaRiemanna–Stieltjesasąrówne,toichwspólnąwartość
oznaczamyprzez∫
afdαinazywamycałkąRiemanna–Stieltjesafunkcjifwzględem
b
funkcjiαnaprzedziale[a,b].Wtedymówimy,żefjestfunkcjącałkowalnąwzględem
funkcjiαwsensieRiemannaipiszemyf∈R(α).Wszczególnymprzypadku,gdy
α(x)=xotrzymujemycałkęRiemanna.Wtymprzypadkugórna(dolna)sumaDar-
bouxodpowiadającapodziałowiPorazgórna(dolna)całkaRiemannasąoznaczane
