Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.FUNKCJEOWAHANIUSKOŃCZONYM
1.2FUNKCJEOWAHANIUSKOŃCZONYM
9
WahanieV(f;a,b)funkcjifnaprzedziale[a,b]definiujemywzorem
V(f;a,b)=supn
i=1
Σ
|f(xi)−f(xi-1)|,
gdziesupremumjestwziętepowszystkichpodziałachP={xo,x1,...,xn}przedziału
[a,b].JeśliV(f;a,b)<+∞,tomówimy,żefjestfunkcjąowahaniuskończonym
na[a,b].Przyjmujemyrównieżoznaczenie
vf(x)=V(f;a,x),
a≤x≤b.
Oczywiścievf(a)=0ivfjestfunkcjąrosnącąna[a,b].Będziemyczęstokorzystać
znastępującegotwierdzeniaorozkładziekanonicznymJordana.
TWIERDZENIE1.Jeślifjestfunkcjąowahaniuskończonymnaprzedziale[a,b],to
f(x)−f(a)=p(x)−q(x),
gdzie
p(x)=
1
2
(vf(x)+f(x)−f(a))
i
q(x)=
1
2
(vf(x)−f(x)+f(a))
sąfunkcjamirosnącymina[a,b].
Funkcjepiqsąnazywaneodpowiedniofunkcjądodatniegowahaniafunkcjif
iujemnegowahaniafunkcjif.
1.2.1.Wykazać,żefunkcjafokreślonawzorem
f(x)=x2cos
0
x2
π
dlax∈(0,1],
dlax=0
jestróżniczkowalnana[0,1],aleniejestfunkcjąowahaniuskończonymna
przedziale[0,1].
1.2.2.Wykazać,żejeślifunkcjafmaograniczonąpochodnąna[a,b],tofjest
funkcjąowahaniuskończonymnatymprzedziale.
1.2.3.Wykazać,żefunkcja
f(x)=x2cos
0
π
x
dlax∈(0,1],
dlax=0
mawahanieskończonenaprzedziale[0,1].
1.2.4.Wykazać,że
V(f;a,b)=f(b)−f(a)
wtedyitylkowtedy,gdyfunkcjafjestrosnącana[a,b].
