Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Metodyopracowywaniawynikówbadań
25
1.3.3.Metodanajmniejszychkwadratówiregresjaliniowa
Metodanajmniejszychkwadratówpoprawniejzwanametodąminimumsumy
kwadratówbłędówjestnajpopularniejsząmetodąestymacjistatystycznychiwy-
znaczanialiniitrendunapodstawiezbiorudanychwpostaciparliczb.Metoda
najczęściejjeststosowanaprzyanalizieregresji.
Wceluopisuwynikówbadańprzyjmujesięnajprostszewyrażenieanalityczne
jaknajlepiejprzybliżającezależnośćmiędzybadanymiwielkościami.Dokonujesię
tegoprzezporównaniewykresówprzyjętychzależnościzpunktamireprezentującymi
rezultatybadań.
Wmetodzienajmniejszychkwadratówzakładasię,żewynikikolejnych
pomiarówobarczonesąpewnymbłędemstatystycznym.Metodapoleganaznalezieniu
minimumsumykwadratówróżnicmiędzywartościamieksperymentalnymiiwartoś-
ciamiobliczonyminapodstawiefunkcjiaproksymującej.Wprzypadkuogólnym
metodęnajmniejszychkwadratówmożnastosowaćwwypadkuwieluzmiennych.
Najczęściejmetodęwykorzystujesię,gdywartościjednejmierzonejzmiennej
związanesązależnościąprostoliniowąlubdowolnąfunkcjąciągłą.Wtejsytuacji
najczęściejzagadnieniesprowadzasiędofunkcjiliniowej,stosującodpowiednie
transformacjezmiennychlubrozwijającfunkcjęwszeregTylora.
Wmetodzienajmniejszychkwadratówzakładasię,żesumakwadratówodchyleń
pionowychwyrażonychwzorem
S=
i=1
F
n
‡
2
i
(1.60)
przyjmujewartośćminimalną,cojestspełnione,gdypochodnecząstkowewielkości
Swyznaczonewzględemposzukiwanychwspółczynnikówfunkcjiaproksymującej
sąrówne0,czyli
Źa
ŹS
i
=0.
Funkcjeaproksymującewynikibadańmajązwyklepostać:
y=a+a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+…+a
n
x
n
,
(1.61)
(1.62)
asumękwadratówodchyleńwartościobliczonychyodwartościzbadanychy
obs
można
wyznaczyćzewzoru
S=
F
(a+a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+…+a
n
x
n
1y
obs
)
2
.
(1.63)
PochodnecząstkowesumySwzględemkolejnychparametrówfunkcjiaprok-
symującejmusząbyćrówne0,azatem
ŹS
Źa
=0,
Źa
ŹS
1
=0,
Źa
ŹS
2
=0,
Źa
ŹS
3
=0,…,
Źa
ŹS
n
=0.
(1.64)
