Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.4.Ewolucjastanuukładupowłączeniuzaburzenia
77
podstawowego,choćrazemzenergiąkwantówjesttociągletasama,stałaenergia.
IlościowyopistakiegozjawiskaspontanicznejemisjipodałEinstein.
Liniowość
NajbardziejzadziwiającącechąrównaniaSchrödingerajestjegoliniowość.Świat
jestnieliniowy,boskutekniejestdokładnieproporcjonalnydoprzyczyny.Tym-
czasemtu,jeśliψ
1(x,t)iψ
2(x,t)spełniająrównanieSchrödingerazależneod
czasu,toidowolnaichliniowakombinacjatorównaniespełnia30.
2.4.EWOLUCJASTANUUKŁADU
POWŁĄCZENIUZABURZENIA
Mamyukładohamiltonianieˆ
H(0)istanachstacjonarnychψ
k:
(0)
H(0)ψ(0)
ˆ
k
=E
(0)
kψ
k,
(0)
tworzącychukładzupełnyortonormalny31
(2.14)
ψ
k(x,t)=φ
(0)
k(x)exp–iE(0)
(0)
h
¯
k
t,
(2.15)
gdziexsymbolizujewektorwszystkichwspółrzędnych,atoznaczaczas.
Zakładamy,żedochwilit=0układbyłwstaniestacjonarnymψ(0)
m.W
chwilit=0zaczynasiędramat:włączamyzaburzenieˆ
V(x,t)zależnenaogół
odwszystkichwspółrzędnych(x)iczasu(t)itaktrzymamyukładażdochwilit,
wktórejzaburzeniewyłączamy.Zadajmypytanie,jakiejestprawdopodobieństwo,
żeukładznajdujesięwtedywstaniestacjonarnymψ
k.
(0)
Zchwiląwłączeniazaburzeniaψ(0)
m
przestajebyćstanemstacjonarnymiza-
czynaewoluowaćwczasiezgodniezrównaniemSchrödingerazależnymodczasu
(ˆ
H(0)+ˆ
V)ψ=i¯
h
∂ψ
∂t.Równanietojestrównaniemróżniczkowymopochod-
nychcząstkowychzwarunkiempoczątkowymψ(x,t=0)=φ(0)
m(x).Funkcje
{ψ(0)
n}tworząukładzupełnyimożnawdowolnejchwilitfunkcjęfalowąprzed-
stawićjakoliniowąkombinacjęfunkcjistanówstacjonarnychzzależnymiod
czasuwspółczynnikamic:
ψ(x,t)=
Σ
n=0
N
cn(t)ψ
n.
(0)
(2.16)
30Istotnie,ˆ
H(c1ψ1+c2ψ2)=c1ˆ
Hψ1+c2ˆ
Hψ2=c1i¯
h
∂ψ1
∂t
+c2i¯
h
∂ψ2
∂t
=i¯
h
∂(c1ψ1+c2ψ2)
∂t
.
31Zawszemożemysobietozapewnić—wynikatozhermitowskościoperatoraˆ
H(0).
