Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
WładysławBukietyński
DowódtegolematujestopartynatwierdzeniuStone’a.PodalgebraAalgebry
C([a,b])jestgęstawtejalgebrze–znormąCzebyszewa–wtedyitylkowtedy,
gdydlakażdegox∈[a,b]istniejefunkcjaf∈Ataka,żef(x)≠0orazgdy
Arozdzielapunktyprzedziału[a,b],czyligdydlakażdychdwóchpunktówx,y
ztegoprzedziałuistniejefunkcjafwalgebrzeAtaka,żef(x)≠f(y).Zauważmy
najpierw,żeprzestrzeńliniowaArozpiętanaukładzieułamkówprostychf
i,gi
jestjednocześniealgebrąliniową.Podalgebrata–poodpowiednimzawężeniu
funkcji–jestgęstawalgebrzeC([–n,n])dladowolnejliczbynaturalnejn.
Wynikastąd,żeAjesttakżezbioremgęstymwalgebrzeliniowejfunkcji
całkowalnychzkwadratemnaRznormąśredniokwadratową.Niezależny
iwcześniejszywczasiedowódtegofaktupodałdoktorPiotrDniestrzański
(P.Dniestrzański(1999)).Przyokazjiwartozwrócićuwagęnaciekawy
szczegół.Przestrzeńliniowarozpiętanazbiorze{f
1,f2,...,g2,g3,...}jestzbiorem
gęstymwprzestrzeniliniowejL
1(R)orazwprzestrzeniL2(R).Zbiórułamków
prostych{f1,f2,...,g1,g2,...}jestnaturalniezbioremliniowoniezależnym.
Wyrzucamyztegozbiorujedenelement–funkcjęg
1.Pomniejszonyzbiór
generujeniewątpliwiemniejsząprzestrzeńwsensiealgebraicznym,alejej
domknięciejestcałąprzestrzeniąHilbertaL
2(R).Jesttomożliwe,boniejestto
układortonormalny.Funkcjef
iorazgjsąwzajemnieortogonalne,natomiastani
układfunkcjiparzystych{f
1,f2,...},aniukładfunkcjinieparzystych{g
1,g2,...}
niejestortogonalny.Zortogonalizowanyukładf
i,giułamkówprostychjestodpo-
wiednikiemnaRukładutrygonometrycznegoortogonalnegonaokręgu
T={u∈C:|u|=1}.
Wielceobiecującywmodelowaniuiprognozowaniuekonomicznymwydaje
sięukładfunkcjiwymiernych(a
n)będącychkolejnymipochodnymifunkcji
arcustangens
an(x)=(arctgx)
(n+1).
Wyprowadziliśmywzory:
a
2
m
()
x
=
(1
+
(2)!
x
m
22
)
m
+
1
∑
k
m
=
0
(1)
-
k
(
|
k
2
2
m
k
+
+
1
1
N
|
)
x
2(
mk
-
)
,
a
2
m
+
1
()
x
=
(1
(2
+
m
x
22
+
)
1)!
m
+
2
(
-
x
)
∑
k
m
=
0
(1)
-
k
(
|
k
2
2
m
k
+
+
2
1
N
|
)
x
2(
mk
-
)
,
gdziemjestliczbąnaturalną.
18
