Book content
Skip to reader controlsSkip to navigationSkip to book detailsSkip to footer
10
Elementneutralny
1.Podstawowestrukturyalgebraiczne
Definicja1.1.3.Niech∗będziedziałaniemwzbiorzeX.Elementenależącydo
zbioruXnazywamyelementemneutralnymdziałania∗,gdydlakażdegox∈X
jest
e∗x=x∗e=x.
Przykład101030Liczba1jestelementemneutralnymzwykłegomnożenialiczbrzeczy-
wistych,boxl1=1lx=x.Liczba0jestelementemneutralnymzwykłegododawania
liczbrzeczywistych,box+0=0+x=x.
Niechteraz◦będziedziałaniemwzbiorzeliczbrzeczywistychR,gdzie
x◦y=x+y+3
(1.2)
dladowolnychliczbxjy∈R.Liczba13jestelementemneutralnymdziałania◦,bodla
każdejliczbyx∈Rmamy
x◦(13)=x+(13)+3=xi(13)◦x=(13)+x+3=x.
Twierdzenie1.1.1.Dladowolnegodziałania∗wzbiorzeXistniejeconajwyżej
jedenelementneutralnydziałania∗.
Dowód0Niecheieibędąelementamineutralnymidziałania∗.Zdefinicji1.1.3mamy
wtedy
e∗e
i=eiie∗ei=e.
Stądotrzymujemyrównośćei=eitodowodzi,żeistniejeconajwyżejjedenelement
neutralnydziałania∗.I
Definicja1.1.4.Niechebędzieelementemneutralnymdziałania∗wzbiorze
X.Mówimy,żeelementxzbioruXjestodwracalny(względemdziałania∗),gdy
istniejeelementy∈X,takiże
Odwracalnośćelementu
Elementodwrotny
Elementprzeciwny
x∗y=y∗x=e.
(1.3)
Elementyopowyższychwłasnościachnazywamyelementemodwrotnym(albo
przeciwnym)doelementux(względemdziałania∗)izwykleoznaczamygoprzez
x11(alboprzez−x).Zrówności(1.3),czylizrównościx∗x11=x11∗x=e,
wynika,żeelementodwrotnyx11takżejestodwracalny.Dlaniegododatkowo
mamy
(x11)11=x(oraz−(−x)=x).
(1.4)
Twierdzenie1.1.2.Niechebędzieelementemneutralnymdziałania∗wzbiorze
X.Jeślidziałanie∗jestłączne,todowolnyelementxzbioruXmaconajwyżej
jedenelementodwrotny.
Dowód0Niechyiyibędąelementamiodwrotnymidoelementuxwzględemdziałania
∗.Ponieważy∗x=e=x∗yi,więc
y=y∗e=y∗(x∗y
i)=(y∗x)∗yi=e∗yi=yi
itodowodzi,żexmaconajwyżejjedenelementodwrotny.I
Przykład101040Elementemodwrotnymdoelementux∈R1{0}względemzwykłego
mnożenialiczbrzeczywistychjestliczba1/x.
Niechterazx0będzieustalonąliczbąrzeczywistąiniech◦będzietakimdziałaniem
wzbiorzeR,żedladowolnychxjy∈Rjest
x◦y=x+y1x0.
Łatwowtedyzauważyć,żeliczbax0jestelementemneutralnymdziałania◦(zob.(1.2)
dlax0=13).Każdyelementx∈Rjestodwracalny(względemdziałania◦)ielemen-
temodwrotnymdoxjest1x+2x0,bomamyx◦(1x+2x0)=x+(1x+2x0)1x0=x0
ipodobnie(1x+2x0)◦x=x0.
