Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
5
NiechXbędzieprzestrzeniątopologicznąHausdorffa.PrzezBC(X)ozna-
czamyprzestrzeńwszystkichfunkcjiograniczonychiciągłychf:X→K(zob.
zad.1.A.11),przezC(X)zaśoznaczamyprzestrzeńwszystkichfunkcjiciągłych
f:X→K(zob.zad.1.A.10).
Załóżmy,żeprzestrzeńXjestlokalniezwarta(tzn.taka,żekażdypunkt
x∈Xposiadaotoczenie,któregodomknięciejestzwarte).Mówimy,żefunkcja
f:X→Kznikawnieskończoności,jeżelidlakażdejliczbyS>0istniejezwarty
podzbiórK⊂XprzestrzeniXtaki,że|f(x)|<Sdlakażdegox∈X\K.Sym-
bolemCo(X)oznaczaćbędziemyzbiórwszystkichfunkcjiciągłychf:X→K
znikającychwnieskończoności.JesttopodprzestrzeńliniowaprzestrzeniBC(X)
(zob.zad.1.A.12).
PonownieniechXoznaczaprzestrzeńtopologicznąHausdorffalokalniezwar-
tąiniechΣbędzieσ-ciałempodzbiorówborelowskichprzestrzeniX.NiechM
oznaczazbiórwszystkichprzeliczalnychrodzin{An:n∈N}paramirozłącznych
zbiorówzΣ.Funkcjęp:Σ→KnazywamymiarąborelowskąwprzestrzeniX,
jeżelifunkcjatajestprzeliczalnieaddytywna,tj.gdyrówność
p(
nl1
U
∞
An)=
Σ
nl1
∞
p(An)
zachodzidlawszystkichrodzin{An:n∈N}∈M.(Wprzypadku,gdyK=C,
mówimyozespolonejmierzeborelowskiej).Jeżelipjesttakąmiarą,tosymbolem
|p|będziemyoznaczaćfunkcjęrzeczywistą|p|:Σ→Rokreślonąwzorem
|p|(A)=sup
Σ
nl1
∞
|p(An)|j
gdzieA∈Σ,akresgórnyjestwziętypowszystkichrodzinachzbiorów{An:
n∈N}∈Mtakich,żeA=U
∞
nl1An.
Miaręborelowskąpnazywamyregularną(zob.[19],s.143),jeżelidlakażdego
zbioruA∈Σzachodząrówności:
|p|(A)=inf{|p|(V):A⊂ViVjestotwarty}j
|p|(A)=sup{|p|(K):K⊂AiKjestzwarty}.
WdalszymciągusymbolemM(X)będziemyoznaczaćzbiórwszystkichregu-
larnychmiarborelowskichwlokalniezwartejprzestrzenitopologicznejHausdorffa
X.Możnapokazać(zob.zad.1.C.18),żejesttoprzestrzeńliniowanadciałemK,
zdziałaniamiokreślonymiwzwykłysposób:
(p+ν)(A)=p(A)+ν(A)j
(tp)(A)=tp(A)
dlawszystkichpjν∈M(X),A∈Σit∈K.
Niechpbędziemiarądodatnią(zob.[19],s.24)określonąnaσ-cieleΣpod-
zbiorówzbioruΩ.SymbolemM(Ωjσjp)oznaczamyprzestrzeńwszystkichfunkcji
mierzalnychf:Ω→K(zob.zad.1.A.2).PrzezL∞(ΩjΣjp)oznaczamynatomiast
