Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
17
niemawątpliwości,jakaprzestrzeńjestrozpatrywana,opuszczamyXwtych
oznaczeniach.
Niech(Xj"·")będzieprzestrzeniąunormowanąiniechA⊂Xbędziezbio-
remniepustym.Dlax∈XodległościąpunktuxodzbioruAnazywamyliczbę
dist(xjA)=inf{"x−a":a∈A}.Mówimy,żexo∈Ajestnajlepszymprzy-
bliżeniempunktux∈X,jeśli"x−xo"=dist(xjA).ŚrednicęzbioruAokreśla
wzórdiam(A)=sup{"x−y":xjy∈A}.ZbiórAjestograniczony,jeżeli
diam(A)<+∞.Przyjmujemy,żezbiórpustyjestrównieżograniczony.
Mówimy,żedwienormy"·"1oraz"·"2wtejsamejprzestrzeniliniowejX
sąrównoważne,jeżeliistniejąliczbyrzeczywistemjM>0takie,żem"x"1<
"x"2<M"x"1dlakażdegowektorax∈X.
Normę"·"wprzestrzeniXnazywasięściślewypukłą,jeżelidlawszystkich
xjy∈X,zwarunków"x"<1,"y"<1ix/=ywynika,że"x+y"<2.Norma"·"
jestjednostajniewypukła,jeżelidladowolnegoS∈(0j2]istniejeδ>0taka,
żejeżelixjy∈B[0;1]i"x−y">S,to"
"
1
2(x+y)"
"<1−δ.Częstomówisięteż,
żeprzestrzeńXjestściślewypukłalubjednostajniewypukła,jeślinormawtej
przestrzenimaodpowiedniąwłasność.
NiechM⊂Xbędziezbiorempochłaniającym.FunkcjonałemMinkow-
skiegozbioruMnazywamyfunkcjępM:X→Rokreślonąwzorem
pM(x)=inf{t>0:x∈tM}
dlakażdegox∈X.
Wdalszymciągupewneprzestrzenieliniowezokreślonymiwnichnormami
będąsiępojawiaćszczególnieczęsto.Tenormybędziemynazywaćnormamistan-
dardowymi.ItakstandardowąnormąwprzestrzeniB(X)wszystkichfunkcji
ograniczonychf:X→K(zob.zad.2.A.5)jestnormadanawzorem
"f"=sup
x∈X
|f(x)|.
Wszczególnościwprzestrzeniachl∞orazcnormęstandardowąokreślawzór
"x"=sup
n∈N
|xn|
dlax=(xn).Wprzestrzenicowzórtenprzyjmujepostać
"x"=max
n∈N
|xn|.
StandardowąnormęwprzestrzeniBC(X)określawzór
"f"=sup
x∈X
|f(x)|.
JeżeliXjestzwartąprzestrzeniątopologicznąHausdorffa,towprzestrzeniC(X)
wzórtenprzyjmujepostać
"f"=max
x∈X
|f(x)|.
