Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
Analizamatematyczna
(liczbąx).Jesttakżeniepusty.WprzeciwnymraziedlakażdegokPZbyło-
bykąxi,wszczególności´kąx.Tymsamymkă´xdlakażdegokPN,
cojestsprzeczneztwierdzeniem1.4.Niechsbędziekresemgórnymzbio-
ruA(istniejącymzgodniez(A.14)).Zauważmy,żesjestelementemzbioru
A.Wprzeciwnymrazie,wobecnierównościs´1ăs,zwarunku(ii)twier-
dzenia1.2,istniałabyliczbakPAtaka,żes´1ăk,czylis´kă1.Ponadto
kăs,gdyżprzyjęliśmy,żesRA.Takwięcponowniezwarunku(ii)wyni-
kałobyistnienieliczbymPAtakiej,żekămăs.Wtedys´1ăkămăs
inastępnieoăm´kă1,cojestniemożliwe,gdyżm´kPZ.Możemywięc
przyjąć,żesPA.Wystarczyzauważyć,żeprzyjmującn“smamynPZ
oraznďxăn`1.Przypuśćmyteraz,żepozaliczbąnistniejeliczban1PZ
taka,żen1‰nin1ďxăn1`1.Jeślin1ąn,ton`1ďn1ďx,coprzeczy
nierównościxăn`1.Jeślinatomiastn1ăn,ton1`1ďnďx,coprzeczy
nierównościxăn1`1.Widaćwięc,żewkażdymprzypadkudochodzimy
dosprzeczności.Takwięcliczbanwyznaczonajestjednoznacznie.
˝
Liczbęn,októrejmowawtwierdzeniu1.5oznaczaćbędziemyprzez
[xs(czasamioznaczanajesttakżeprzezEpx)).Liczbę[xsnazywasięczęścią
całkowitąlubcechąliczbyxPR.Zauważmy,że
(1.2)
@xPR[xsPZ
oraz
[xsďxă[xs`1.
Liczbęx´[xsnazywasięczęściąułamkowąlubmantysąliczbyxPR.
10.Gęstośćzbioruliczbwymiernych
TWIERDZENIE1.6.ZbiórQjestgęstywzbiorzeR,tzn.wkażdymprzedziale
pa,b),gdzieaăb,istniejeliczbawymierna.
DOWÓD.Ustalmyprzedziałpa,b)ĂR.Korzystającztwierdzenia1.5
dlaliczbyx“pb´a)11ąo,ustalmyliczbęnPNtak,bynąpb´a)11,
czyli1
năb´a.Przyjmująck“[nasmamykďnaăk`1,tzn.k`1´naď1
ik`1´naąo.Takwięck`1
n´aď1
năb´aik`1
n´aąo.Zatemaăk`1
n
ăb
ik`1
n
PQ.
˝
