Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Teorialiczb
Liczbycałkowiteiwymierne
Bukiet1
1.Dlan=1,2,3,iiiwprowadźmyoznaczenie
Sn=1+1
2
+1
3
+iii+1
n
.
48
Uzasadnij,że:
a)S2n≥Sn+1
2
dladowolnegon≥1,
b)S2n>n
2
dladowolnegon≥0,
c)dladowolnejliczbyrzeczywistejw≥1istniejeliczbanaturalnan≥1taka,
żeSn≤wiSn+1>w.
2.Wykaż,żedladowolnychliczbnaturalnychm≥1,n≥1takich,żem<n:
a)istniejąliczbycałkowitek,rtakie,żek>1,0≤r<moraz
m
n=1
k
·(1+r
n),
b)ułamekm
nmożnaprzedstawićwpostacisumyodwrotnościparamiróżnych
liczbnaturalnych.
3.Udowodnij,żedowolnądodatniąliczbęwymiernąmożnaprzedstawićwpo-
stacisumyodwrotnościparamiróżnychliczbnaturalnych.
Bukiet2
51
SymbolemS(n)oznaczamysumęcyfrliczbynaturalnejn(zapisanejwsystemie
dziesiątkowym).SymbolemN(k)oznaczamynajmniejsząliczbęnaturalną,której
sumacyfr(wzapisiedziesiątkowym)wynosik.Wtymbukiecieliczbę0uważamy
zaliczbę0-cyfrową.
1.Znajdź:
a)S(m),S(S(m))iN(S(m))dlam=123456789,
b)N(m),S(N(m))iN(N(m))dlam=11idlam=19.
2.Uzasadnij,żedladowolnegonaturalnegomzachodzązależności:
a)S(N(m))=m,
b)N(S(m))≤m,
c)N(S(m))=mdokładniewtedy,gdyN(k)=mdlapewnegonaturalnegok.
6
