Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
WYSOKOŚĆIBARWADŹWIĘKU
materiinieożywionejiożywionej.Szaleństwemwydawałasiękiedyśhipo-
teza,żetanieskończonaróżnorodnośćobiektówzawierawsobietylkokilka
podstawowychelementów:atomówwodoru,węgla,krzemu,tlenuitd.
Atomyróżniąsięmiędzysobąmasąiliczbąelektronów,takjakfunkcje
harmonicznepoprawejstroniewzoru(3.7)różniąsięamplitudami
(
A
1
,A
2
,
…),częstotliwościami(
f
,
2
f
,…)orazfazamipoczątkowymi
(
I
1
,
I
2
,...
).InnymisłowyFourierudowodnił,żeskładnikamifunkcjiperio-
dycznychsąfunkcjeharmoniczne,
A
k
cos
(
2
π
f
k
+
I
k
)
.Jakwyznaczasię
amplitudy
A
k
orazfazypoczątkowe
I
k
?
Abyzminimalizowaćliczęprzekształceńmatematycznych,pokażemy
tonaprzykładziesygnału,którywpełniopisująsameamplitudy,
A
1
,
A
2
,ł
F
(
t
)
±
A
1
cos
(
ω
|
t
)
+
...
+
A
k
cos
(
k
ω
|
t
)
+
...
+
A
n
cos
(
n
ω
|
t
)
+
...
(3.8)
Sygnałtakijestsymetrycznywzględemchwili
t
±
0
,gdyż
F
(
-
t
)
±
F
(
+
t
)
.
Matematycymówiąwtedyofunkcjiparzystej.Dlaliczbnaturalnych
k
±
1
,
2
,
...
oraz
n
±
1
,
2
,
...
,funkcjacosinusposiadanastępującewłaściwo-
ści:
+
T
/
2
I
kn
±
∫
cos
(
k
ω
t
)
cos
(
n
ω
t
)
dt
±
0
,
-
T
/
2
I
kk
±
+
-
T
T
∫
/
/
2
2
cos
2
(
k
ω
t
)
dt
±
1
2
T
.
(3.9)
Sztukacałkowanianależydogałęziwiedzyzwanejanaliząmatema-
tyczną.Abyznaleźćamplitudę
A
k
,równość(3.8)mnożymystronamiprzez
cos
(
kω
t
)
[
A
1
cos(
ω
t
)...
+
A
k
cos(
k
ω
t
)...
+
A
n
cos(
n
ω
t
)...
]
|
cos(
k
ω
t
)
±
F
(
t
)
cos(
k
ω
t
)
.(3.10)
Obustronnecałkowaniepocałymokresieodchwili
-
T
/
2
dochwili
+
T
/
2
prowadzido
+
T
/
2
A
1
|
I
k
1
+
...
+
A
k
|
I
kk
+
+
A
n
|
I
kn
+
±
∫
F
(
t
)
cos(
k
ω
t
)
dt
.
...
...
-
T
/
2
Pouwzględnieniuwłaściwości(3.9)otrzymujemy
A
2
k
T
±
+
-
T
T
∫
/
/
F
2
2
(
t
)
cos(
k
ω
t
)
dt
.
(3.11)
(3.12)
Znającokressygnału
T
,tzn.częstotliwośćkątową
ω
±
2π
/
T
,orazwszyst-
kiewartościliczbowesygnału
F
(t
)
wprzedzialeczasu
-
T
/
2
Ś
t
Ś
+
T
/
2
,
