Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Metodanajmniejszychkwadratów
33
Powyższerównaniewyznaczalinięregresjipopulacjigeneralnej(por.rysu-
nek1.2).Zakładasięzatem,żeprzechodzionaprzezpunktybędącewartościami
średnimiwieluniezależnychdoświadczeń,którychwynikireprezentująrealizacje
wpróbiezmiennychy
1
,y
2
,…,y
I
.
Rysunek1.2.Liniaregresjipopulacjigeneralnej
Kowariancjezmiennychy
i
(dlai≠j)równesąnatomiast:
cov(y
i
,y
j
)=E[(y
i
-E(y
i
))(y
j
-E(y
j
))]=E(Ę
i
Ę
j
)=0,
wariancjazaś:
(1.15)
D
2
(y
i
)=E(y
i
-E(y
i
))
2
=E(o
0
+o
1
x
i
+Ę
i
-o
0
-o
1
x
i
)
2
=E(Ę
2
i
)=σ
2
.
(1.16)
Podkreślmy,conastępuje:y
1
,…,y
I
jestzbioremIzmiennychlosowych
niezależnych.Niesątojednakzmienneotakichsamychrozkładach,różniąsię
bowiemwartościąśrednią(por.wzór(1.14)).
Zgodniezewzorami(1.14)i(1.16)orazzałożeniemonormalnościrozkładu
składnikalosowegoĘ
i
zmiennelosowey
i
mająrównieżrozkładnormalnyowartości
oczekiwanejo
0
+o
1
x
i
iwariancjiσ
2
,tzn.:
y
i
:N(o
0
+o
1
x
i
,σ
2
).
(1.17)
Parametryo
0
io
1
sąnieznane.Mogąbyćjednakżeoszacowanenapodstawie
próbystatystycznej,awięcwartościzaobserwowanych,odpowiadającychzmien-
nymyix.Otrzymamywówczaslinięregresjipróby:
y
ˆ
i
=o
ˆ
0
+o
ˆ
1
x
i
,
gdzie:
y
ˆ
i
—wartośćteoretycznazmiennejyodpowiadającai-tejobserwacji,
o
ˆ
0
—estymatoryparametrów,odpowiednioo
0
io
1
.
(1.18)
