Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
1.Przykładyfraktali
g)wykreslinii(x(t),y(t))określonejwsposóbparametryczny:x(t)=sin2t,
y(t)=sin3t,dlat∈[o,2π];
h)punkt(xo,yo).
ElementamizbioruFniesą:zbiórpusty,odcinekotwarty(A,B),wnętrze
koła(bezbrzegu),liniaprosta,wykresfunkcjiy=x2dlax∈(o,Ż),zbiórliczb
wymiernych(lubniewymiernych)zprzedziału[o,1]iinne.
JeżeliflifβnależądoF,tosumafl∪fβnależydoF,aczęśćwspólna
fl∩fβ,jeślitylkoniejestzbiorempustym,równieżnależydoF.
1.2.Przykładyfraktali
DozbioruFnależąrównieżobiektygeometryczne,którychnieomawiasię
nawykładachzgeometriielementarnej.Naprzykładtakie,któresąokreślane
wsposóbrekurencyjnyiwpotocznymjęzykunazywasięjefraktalami.
PRZYKŁAD101(zbiórCantora,1883r.)[11]0Odcinekdomknięty[o,1]podziel-
mynatrzyrówneczęściiusuńmyodcinekśrodkowy(1
3,2
3),pozostawiającjego
punktybrzegowe.Tosamozróbmyzpozostałymidwomaodcinkami[o,1
3]i[2
3,1],
następnietosamozpozostałymiczteremaodcinkami(rys.1.2)itd.Wgranicy
otrzymamytzw.zbiórCantora.
Rys01020PięćkolejnychprzybliżeńzbioruCantora
Jesttozbiórdomknięty,manieprzeliczalnąliczbępunktów,aleniezawiera
żadnegoodcinka.Czytelnikpamiętającywzórnasumępostępugeometrycznego
łatwomożesprawdzić,żesumadługościwszystkichusuniętychodcinkówjest
równajeden.
I
PRZYKŁAD102(krzywaHelge’avonKocha,1904r.)[38]0Jesttogranicaciąguli-
niiłamanych.Pierwszetrzywyrazyk1,k2,k3tegociągupokazanonarysunku1.3.
Abyotrzymaćnastępneprzybliżenieki+1krzywejvonKocha,każdyzodcinków
liniiłamanejkizastępujemyczteremaodcinkamitrzykrotniekrótszymi,takjakto
widaćdlak2ik1.GranicątakichliniiłamanychjestkrzywavonKocha(rys.1.3).
Możnapokazać,żekrzywavonKochawżadnympunkcieniemastycznej,
ajejdługośćjestnieskończeniewielka.
I
