Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
Funkcjeolosowychargumentach
iprocesylosowe
1.1.Zmiennalosowaijejrozkład
Przypomnimynajpierwpojęcia,któresąniezbędnewdalszychrozważaniach.
Jednymztakichpojęćjestzbiórborelowski.
Definicja1.RodzinąpodzbiorówborelowskichzbioruliczbrzeczywistychR
nazywamynajmniejszeσ-ciałozawierającepółproste(−∞,x],x∈R.To
σ-ciałooznaczaćbędziemysymbolemB(R).
Zdefinicjitejwynika,żezbiorypostaci(a,b],(a,b),[a,b],[a,∞),(∞,b),
{a},{a1,...,an},{a1,a2,...}należądoB(R),awięcsązbioramiborelowski-
∞
mi,gdyż(a,b]=(−∞,b]−(−∞,a],(a,b)=
U
(a,b−a+b
n],{b}=(a,b]−
nl1
(a,b),[a,b)={a}∪(a,b)itd.
Takwięcwszystkiewpraktycespotykanepodzbioryzbioruliczbrzeczy-
wistychmożemyuważaćzazbioryborelowskie.Dodajmyjednak,żeistnieją
podzbioryzbioruliczbrzeczywistych,któreniesąborelowskie.Dowódtego
faktumożnaznaleźćnp.wksiążceBillingsleya[2].
Niechdanabędzieprzestrzeniąprobabilistyczna(Ω,F,P).
Definicja2.FunkcjęXokreślonąnaprzestrzenizdarzeńelementarnychΩ
owartościachwzbiorzeliczbrzeczywistychRnazywamyrzeczywistązmienną
losową,jeżelidladowolnegozbioruborelowskiegoA∈B(R)
{ω∈Ω:X(ω)∈A}∈F
(1.1)
ZbiórX11(A)={ω∈Ω:X(ω)∈A}nazywamyprzeciwobrazemzbioru
AwodwzorowaniuX.
Zatemzmiennalosowa,tofunkcjaX:Ω→R,któramatęwłasność,
żeprzeciwobrazdowolnegozbioruborelowskiegojestzdarzeniem.Mówimy
wówczas,żefunkcjaXjestmierzalnawzględemσ-ciałaF.
