Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.Równaniefalowe
2.1.Równaniestrunyiwzórd’Alemberta
NiechLoznaczaoperatorróżniczkowydanywzorem
L=
∂t2
∂2
−c2
∂x2
∂2
.
Zauważmy,żeL=L2◦L1,gdzie
L1=
∂t
∂
−c
∂x
∂
j
L2=
∂t
∂
+c
∂x
∂
.
RozważymyzagadnieniepoczątkoweCauchy’egodlarównania
strunyswobodnej:
(
I
4
Lu≡utt−c2uxx=0
u(xj0)=f(x)dlax∈R,
dlax∈R,t>0,
I
l
ut(xj0)=g(x)dlax∈R.
(2.1)
Funkcjef∈C2(R)ig∈C1(R)sązgórydane(opisują,odpowied-
nio,początkowewychyleniestrunyzpołożeniarównowagiorazjej
początkowąprędkość).Niewiadomąjestfunkcjau,klasyC2.
Uwaga.Ściślejmówiąc,
Etap1.Wyznaczymypostaćwszystkichrozwiązańrównania
będziemyposzukiwać
rozwiązaniaklasyC1
Lu=0.Rozbijemytozadanienadwakroki:rozwiążemyrówna-
wpółpłaszczyźnie
niaL1u=uiL2u=0
domkniętejR×[o,ż),
(A)Załóżmy,żeL2u=0wpewnymzbiorzewypukłymE⊆R2.
którejestklasyC2na
Niechℓγoznaczaprostąx−ct=γ=const(γ∈R).Połóżmy
półpłaszczyźnieotwartej
R×(o,ż).
h=u|ℓ
γ,toznaczy,ściślemówiąc,
h(t):=u(γ+ctjt).
