Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
MODELEREGRESJILINIOWEJ
Dekompozycjawedługwartościosobliwychmabezpośredniezastosowanie
wrozwiązaniumacierzowegoukładurównań(2.3).Możnategodokonaćprzez
dekompozycjęSVDmacierzyX=USVT.Przyzałożeniuwymiarówm×Nmacie-
rzyXmacierzeortogonalneUiVmająwymiaryodpowiedniom×morazN×N,
amacierzSwymiarm×N.Biorącpoduwagę,żetylkorpierwszychelementów
macierzySmaznaczącewartościwiększeodzałożonejwartościtolerancjitol,
można,pomijającpozostałe,dokonaćredukcjiwymiarówwszystkichmacierzy
ograniczającsiędopierwszychrwierszyikolumnmacierzySorazrpierwszych
kolumnmacierzyUiV.WtensposóbdekompozycjęoryginalnąSVDzastępuje
sięprzybliżonąopostaci[20]
X
Ś
USV
r
r
r
T
(2.10)
wktórejU
riV
rsązredukowanymimacierzamizłożonymizortogonalnychwek-
torówkolumnowych,aS
rjestmacierządiagonalnąowszystkichelementach
dodatnich,większychniżzałożonawartośćtolerancjiprzyjętawprocesiere-
dukcji.PrzytakiejaproksymacjimacierzyXmożnałatwowyznaczyćmacierz
odwrotną,korzystajączregułyodwracaniailoczynumacierzy,zgodniezktórą
(
BC
)
-
1
±
CB.DlamacierzyortogonalnychQobowiązujezależnośćQ–1=QT,
-
1
-
1
adlamacierzydiagonalnych
S
-
r
1
±
diag
f
|
L
s
11
1
s
2
,
,...,
s
1
r
1
|
J
.
Biorąctopoduwagę,
otrzymujesiępseudoinwersjęmacierzyXwpostaci
X
+
±
VSU
r
-
r
1
T
r
(2.11)
Dlaodróżnieniaoperacjiinwersjiipseudoinwersjitęostatniąoznaczasięzwy-
kleznakiem+.PowyższadefinicjapseudoinwersjiodnosisiędorodzinyMoore-
’a-Penrose’a[20],zgodniezktórądowolnamacierzXmaswojąmacierzpseudo-
inwersyjnąX+spełniającąwarunekXX+X=X.
RozwiązanieukładurównańprostokątnychXa=dzwykorzystaniempseudo-
inwersjimożnaterazprzedstawićwpostaci,zwanejrozwiązaniemnajmniejszych
kwadratów
a=X+d
(2.12)
WMatlabieistniejefunkcja(m-plikfunkcyjny)pinvdokonującapseudoin-
wersjiMoore’a-Penrose’amacierzyzwykorzystaniemdekompozycjiSVD.Jej
pełnysposóbwywołaniatopinv(A,tol),gdzietoloznaczaprzyjętąprzezużytkow-
nikawartośćtolerancji.Jeśliakceptujemywartośćwbudowaną,towwywołaniu
parametrtolmożebyćpominięty.Wartośćwbudowanatoljestwówczasrówna
max(size(X))×norm(X)×eps[20,49].
Jakoprzykładnumerycznyrozpatrzymyprocesidentyfikacjiparametrówmo-
deluliniowegoprocesu,wktórymliczbarównańjestwiększaodliczbyzmien-
nych(typowyprzypadekwtechnicepomiarowej).Przyjmijmydlaprzykładuma-
cierzXiwektordwpostaci
