Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
Zauważcie,żecałkujemypozmiennejt,awięccałkajestfunkcjązmiennejx.Może-
mypytaćoto,kiedyF(x)jestciągłąfunkcjąxalboteżkiedymożemyróżniczkować
względemxpodznakiemcałki,bywyrazićpochodnąF(x)przez
F,(x)=∫
0
∞
∂f(x,t)
∂x
dt.
Większośćprzykładówizadańwtymrozdzialemoglibyścienazwać„zadaniamiczysto
matematycznymi”.Materiałtegoikilkunastępnychrozdziałówprzygotowujepodstawy
dodalszychrozdziałów,wktórychwieleproblemówbędziemiałomotywacjęfizyczną.
1.1.FUNKCJE
Zelementarnegokursumatematykipamiętamy,żefunkcjatorelacjaprzypisującajed-
nejliczbie,x,innąliczbę,y.Przedstawiamytęrelację,piszący=f(x);wewzorze
tymfreprezentujefunkcję.Zbiórwartościx,dlaktórychf(x)jestokreślone,nazywa-
mydziedzinąfunkcji,zbiórwszystkichwartościy,jakiemożnauzyskaćzx,nazywamy
obrazem(przeciwdziedziną)funkcjif.Jeżelijednemuargumentowixodpowiadatylko
jednawartośćy,tofunkcjętakąnazywamyjednowartościową,jeżeliwięcejniżjedna
—funkcjąwielowartościową.Pokażemypóźniej,żefunkcjęwielowartościowąmoże-
mytraktowaćjakorodzinęfunkcjijednowartościowych,zwanychgałęziami,będziemy
więczakładać,żewszystkiebadaneprzeznasfunkcjesąjednowartościowe.Niektórzy
autorzyjedyniefunkcjejednowartościowenazywająfunkcjami,mybędziemyużywali
powyższej,niecoswobodniejszejdefinicji.
Przyjrzyjmysiękilkuprzykładom.Rozpatrzmyrelacjęy=x2,czyliy=f(x)=x2,
dlaxspełniającychnierówność–2≤x≤2.Wtymprzypadkufjestfunkcjąjedno-
wartościową,gdyżjednejwartościxodpowiadatylkojednawartośćy.Zauważcie,że
dziedzinąfjestprzedział[–2,2],aobrazem[0,4].Oznaczenie[–2,2]opisujeprze-
działdomknięty–2≤x≤2.Przedziałtennazywamydomkniętym,gdyżzawiera
swojekońce:–2i2.Analogicznieprzedziałotwarty–2<x<2będziemyozna-
czać(–2,2).Gdybyśmyzadziedzinęfprzyjęliprzedział(–2,2),toobrazemfbyłby
[0,4).Rozpatrzmyterazfunkcjęy2=x,dla0<x≤1(przedziałtenoznaczamy
(0,1]).Rozwiązująctorównaniewzględemy,otrzymujemyy=±√x,copokazuje,
żemamydwiewartościydlakażdegox.Możemytęrelacjętraktowaćjakoodpowia-
dającądwómfunkcjomjednowartościowym:y=f1(x)=√xiy=f2(x)=–√x.
Zauważcie,żef1if2majątęsamądziedzinę,alezupełnieinneobrazy:odpowiednio
(0,1]i[–1,0).
Mówiącściśle,funkcjęoznaczamyprzezf,awartość,jakąprzyjmujef,gdyza-
stosujemyjądox,przezy=f(x).Powszechniejednaknazywasięf(x)funkcją,
wszczególności„funkcjązmiennejx”.Piszemynawety=y(x),bywskazać,żey
jestwartością,jakąuzyskamy,stosującdoxregułęprzekształcającąxwy.Notacjata
jestużywanabardzoczęstoijestbardzowygodna.Wkażdymraziezmiennaxnazywana
jestzmiennąniezależną,yzaśzmiennązależną.
