Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
11.RÓWNANIARÓŻNICZKOWEZWYCZAJNE
16.Zbiornikzawierapoczątkowo1000litrówwodnegoroztworusoliostężeniu100gramówna
litr.Dozbiornikawpływaczystawodazszybkością5litrównaminutę,ztąsamąszybkością
zezbiornikawypływaroztwór.Obliczstężenieroztworusolipogodzinieprzyzałożeniu,że
zawartośćzbiornikajestwciążmieszana,takżewkażdejchwilistężeniewcałymzbiorniku
jestjednakowe.
17.Rozwiążpoprzedniezadanieprzyzałożeniu,żedozbiornikadolewamynieczystąwodę,ale
roztwórsoliostężeniu5gramównalitr.
18.Wykaż,żepodstawienieu=y/xprzekształcajednorodnerównanieróżniczkowewrówna-
nieróżniczkoweorozdzielonychzmiennych.Wskazówka:Wdefinicjifunkcjijednorodnej
przyjmijλ=1/xinapisz,że
xn
1
f(x,y)=f
x
x
,
y
x=φ
y
x.
19.Zapomocąnaszkicowanejwpoprzednimzadaniumetodyrozwiążnastępującerównaniaróż-
niczkowe:
(a)
dy
dx
=
x3+y3
x2y
.
(b)
dy
dx
=
x2–y2
xy
.
20.Wykaż,żerównanieróżniczkowepostaci
dy
dx
=
αx+βx+γ
ax+by+c
dlaaβ–αb/=0możnaprzekształcićdojednorodnegorównaniaróżniczkowegoprzezpod-
stawieniex=u+x0iy=v+y0,gdziex0iy0sąrozwiązaniamiukładurównań
ax0+by0+c=0,
αx0+βy0+γ=0.
21.Zapomocąmetodyzpoprzedniegozadaniarozwiąż
dy
dx
=
2x+y–4
x–y+1
.
22.Znajdźαiβ,dlaktórychrównanie(1.8)pomnożoneprzezxαyβstaniesięrównaniemróż-
niczkowymzupełnym.
23.Wykaż,żefunkcja(1.10)jestrozwiązaniemrównania(1.8).
11.2.RÓWNANIARÓŻNICZKOWELINIOWE
PIERWSZEGORZĘDU
Wpodrozdziale11.1niewspomnieliśmyopewnejważnejklasierównańróżniczkowych.
Mówimy,żerównanieróżniczkowejestliniowe,gdyzmiennazależna(ijejpochodne)
występujewkażdymzwyrazówwconajwyżejpierwszejpotędzeicowięcejwżadnym
