Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Kwantyfikatory
11
Przykład1.2.Poniższewyrażeniasąfunkcjamizdaniowymi.
1)Wyrażeniex2>2,x∈R,jestfunkcjązdaniowąodziedzinieR.Liczba2spełnia
tęfunkcjęzdaniową,gdyżpodstawiającx=2,otrzymujemyzdanie4>2,które
jestprawdziwe.Liczbax=1niespełniafunkcjizdaniowej,gdyżzdanie1>2jest
fałszywe.
2)Wyrażenie
f(n):
3|n3−n
jestfunkcjązdaniowąodziedziniebędącejzbioremliczbnaturalnych.Elementyn=5,
n=7spełniająfunkcjęzdaniową.Możnapokazać,żewszystkieliczbynaturalne
spełniajątęfunkcjęzdaniową.
Π
Funkcjezdanioweniemusząbyćzdaniamiprostymi,mogąbyćrównieżzda-
niamizłożonymi.
Przykład1.3.Funkcjamizdaniowymi,wktórychwystępująspójnikilogiczne,sąna
przykład:
1)f(n):n∈N2∧3|n,gdzien∈N.
2)f(x):x>0∧x2−x−2=0,gdziex∈R.
3)f(n):resztazdzielenianprzez5wynosi2lubnjestliczbąpierwszą,gdzien∈N.
4)f(x):x∈Q⇒x2>0,gdziex∈R.
5)f(x):x>2⇒(¬(x<1)∨x2>3),gdziex∈R.
Π
JeślifjestfunkcjązdaniowąokreślonąnazbiorzeX,tozbiórtychelementów
x∈X,którespełniająfunkcjęzdaniowąf,oznaczamy
{x∈X:f(x)}.
Ćwiczenie1.5.Rozważmynastępującefunkcjezdaniowe:
1)f(n):njestliczbąnieparzystą,gdzien∈N.
2)f(x):(x−1)(x+2)=0,gdziex∈R.
3)f(n):sumacyfrliczbynjestpodzielnaprzez3,gdzien∈N.
Wyznaczyćizapisaćzbioryspełniającetefunkcjezdaniowe.
Rozwiązanie
1)Mamy{n∈N:njestliczbąnieparzystą},azatemjesttozbiórN1wszystkich
liczbnaturalnychnieparzystych.
2){x∈R:(x−1)(x+2)=0}.Jesttozbiórrozwiązańrównania(x−1)(x+2)=0.
Równanietospełniajądwieliczby:x=1lubx=−2.Zbiórtenjestzatem
równy{−2,1}(patrzdefinicjarównościzbiorów—podrozdz.1.4).
3)Mamy{n∈N:sumacyfrliczbynjestpodzielnaprzez3}.Zgodniezcechą
podzielnościprzez3,zbiórtenskładasięzewszystkichliczbnaturalnychpo-
dzielnychprzez3.
Π
