Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§4.FunkcjaLagrange'aswobodnegopunktumaterialnego
15
Wzory(3.3)i(3.4)nazywająsiętransformacjąGalileusza.Zasadęwzględności
Galileuszamożnasformułowaćjakążądanieniezmienniczościrównańruchumechaniki
względemtejtransformacji.
§4.FunkcjaLagrange'aswobodnegopunktumaterialnego
OkreślimyobecniepostaćfunkcjiLagrange’awnajprostszymprzypadku—wprzy-
padkuruchuswobodnegopunktumaterialnegowzględeminercjalnegoukładuodniesie-
nia.Jakjużwidzieliśmy,funkcjaLagrange’amożewtymprzypadkuzależećjedynieod
kwadratuwektoraprędkości.PosługującsięzasadąwzględnościGalileusza,otrzymamy
postaćtejzależności.JeżeliinercjalnyukładodniesieniaKporuszasięwzględemin-
ercjalnegoukładuodniesieniaK,znieskończeniemałąprędkościąε,tov,=v+ε.
Ponieważrównaniaruchupowinnymiećtęsamąpostaćwewszystkichukładachodnie-
sienia,funkcjaLagrange’aL(v2)powinnaprzytakiejtransformacjiprzejśćwfunkcję
L,różniącąsięodL(v2)conajwyżejozupełnąpochodnączasowądowolnejfunkcji
współrzędnychiczasu(patrzkoniec§2).
Mamy
L,=L(v,2)=L(v2+2v·ε+s2).
Rozwijająctowyrażeniewszeregpotęgowywzględemεiodrzucającwyrazynieskoń-
czeniemałewyższychrzędów,otrzymujemy
L(v,2)=L(v2)+
∂v2
∂L
2v·ε.
Drugiwyrazpoprawejstronietejrównościbędziezupełnąpochodnąwzględemczasu
tylkowtedy,gdybędzieonzależałliniowoodprędkościv.Dlatego
∂v2
∂L
niezależyod
prędkości,czylifunkcjaLagrange’ajestwtymprzypadkupoprostuproporcjonalnado
kwadratuprędkości:
L=1
2mv2,
(4.1)
gdziemjeststałą.
PonieważfunkcjaLagrange’apowyższejpostacispełniazasadęwzględnościGalile-
uszawprzypadkunieskończeniemałejtransformacjiprędkości,więcfunkcjatabędzie
równieżniezmienniczawprzypadkuskończonychprędkościVukładuodniesieniaK
względemK,.Rzeczywiście
L,=1
2mv,2=1
2m(v+V)2=1
2mv2+2·1
2mv·V+1
2mV2
lub
L,=L+
dt2·
d
1
2
mr·V+
1
2
mV2t.
Drugiwyrazjestzupełnąpochodnąimożnagoodrzucić.
