Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18I.Równaniaruchu
RównaniaruchuwtejpostacinazywająsięrównaniamiNewtona,równaniatesąpod-
stawąmechanikiukładucząstekoddziałujących.Wektor
Fa=–
∂ra
∂U
(5.4)
znajdującysiępoprawejstronie(5.3)nazywasięsiłądziałającąnaa-typunkt.Siła,
podobniejakU,zależytylkoodwspółrzędnychwszystkichcząstek,niezależynatomiast
odichprędkości.Równania(5.3)stwierdzająwięc,żerównieżwektoryprzyspieszeń
cząsteksąfunkcjamijedyniewspółrzędnych.
Energiapotencjalnajestwielkościąokreślonątylkozdokładnościądodowolnej
stałejaddytywnej;dodaniedoenergiistałejniezmieniarównańruchu.Własnośćta
jestszczególnymprzypadkiemomówionejpodkoniec§2niejednoznacznościfunkcji
Lagrange’a.Najbardziejnaturalnyiogólnieprzyjętyjesttakisposóbwyborutejstałej,
przyktórymenergiapotencjalnadążydozera,gdyzwiększająsięodległościmiędzy
cząstkami.
Jeżeliprzyopisieruchunieposługujemysięwspółrzędnymikartezjańskimi,lecz
dowolnymiwspółrzędnymiuogólnionymiqi,funkcjęLagrange’aotrzymujesięwwyniku
transformacjiwyrażającejwspółrzędnekartezjańskieprzezdanewspółrzędneuogólnione
xa=fa(q1,q2,...,qs),
xa=Σ
˙
k
∂qk
∂fa
qkitd.
˙
Podstawiająctewyrażeniadofunkcji
L=1
2Σ
ma(˙
x2
a+˙
y2
a+˙
z2
a)–U,
a
otrzymamyszukanąfunkcjęLagrange’a,którabędziemiałapostać
L=1
2Σ
i,k
aik(q)˙
qi˙
qk–U(q),
(5.5)
gdzieaiksąfunkcjamitylkowspółrzędnych.Energiakinetycznawewspółrzędnych
uogólnionychjest,takjakpoprzednio,formąkwadratowąprędkości,leczterazjejwspół-
czynnikimogązależećodwspółrzędnych.
Dotychczasmówiliśmytylkooukładachodosobnionych.Rozpatrzmyterazukład
nieodosobnionyA,oddziałującyzinnymukłademBwykonującymdanyzgóryruch.
Wtakimprzypadkumówisię,żeukładAporuszasięwzadanympoluzewnętrznym
(wytworzonymprzezukładB).Ponieważrównaniaruchuotrzymujesięzzasadynaj-
mniejszegodziałania,wariująckażdązewspółrzędnychniezależnie(toznaczytak,jakby
pozostałebyłyznane),możemywceluznalezieniafunkcjiLagrange’aLAukładuApo-
służyćsięfunkcjąLagrange’aLcałegoukładuA+B,podstawiającwniejzamiast
współrzędnychqBdanefunkcjeczasu.
Zakładając,żeukładA+Bjestodosobniony,mamy
L=TA(qA,˙
qA)+TB(qB,˙
qB)–U(qA,qB),
