Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10I.Równaniaruchu
Znajomośćwartościwspółrzędnychuogólnionychwdanejchwilinieokreślajeszcze
„stanumechanicznego”układu,gdyżniepozwalaprzewidziećpołożeniaukładuwprzy-
szłości.Przyustalonychwartościachwspółrzędnychukładmożemiećdowolneprędkości
ipołożeniaukładuwprzyszłości(tj.wnieskończeniemałymprzedzialeczasu∆t)będą
zależneodwartościtychprędkości.
Zdoświadczeniawynika,żejednoczesnaznajomośćwszystkichwspółrzędnych
iprędkościcałkowicieokreślastanukładuiwzasadziepozwalaprzewidziećdalszy
jegoruch.Matematycznieoznaczato,żeznajomośćwszystkichwspółrzędnychqipręd-
kości˙
qwpewnejchwilijednoznacznieokreślawartośćprzyspieszenia¨
qwtejchwili∗.
Związkiłącząceprzyspieszeniezewspółrzędnymiiprędkościaminazywająsięrów-
naniamiruchu.Sątorównaniaróżniczkowedrugiegorzędudlafunkcjiq(t);funkcje
temożnaznaleźćwwynikucałkowaniatychrównań,atymsamymmożnaokreślićruch
układumechanicznego.
§2.Zasadanajmniejszegodziałania
Najbardziejogólnymsformułowaniemprawruchuukładówmechanicznychjesttzw.
zasadanajmniejszegodziałania(zwanateżzasadąHamiltona).Wmyśltejzasady
każdyukładmechanicznyjestscharakteryzowanyprzezokreślonąfunkcję
L(q1,q2,...,qs,˙
q1,˙
q2,...,˙
qs,t),
którąbędziemykrótkooznaczaćprzezL(q,˙
q,t),przyczymruchukładuspełnianastę-
pującywarunek.
Niechwchwilacht=t1it=t2układmaokreślonepołożeniascharakteryzowane
przezdwazbiorywartościwspółrzędnychq(1)iq(2).Wtedymiędzytymipołożeniami
układporuszasiętak,żecałka
S=
∫
t1
t2
L(q,˙
q,t)dt
(2.1)
przyjmujenajmniejsząmożliwąwartość∗∗.FunkcjaLnazywasięfunkcjąLagran-
ge’a∗∗∗danegoukładu,acałka(2.1)—działaniemtegoukładu.
FunkcjaLagrange’azależytylkoodqi˙
q,niezależynatomiastodwyższychpochod-
nych¨
q,˙¨
q,...Jesttoformalnyodpowiednikstwierdzenia,żestanmechanicznyukładu
jestokreślonycałkowicieprzezwspółrzędneiprędkości.
∗Zbiórwszystkichwspółrzędnychq1,q2,...,qsbędziemyczęstooznaczaćsymbolemq(podobnie
zbiórwszystkichprędkościsymbolem˙
q).
∗∗Należyzwrócićuwagę,żetakiesformułowaniezasadynajmniejszegodziałanianiezawszejest
słusznedlaruchuukładuwskończonymprzedzialeczasu(t1,t2),natomiastzawszejestsłusznedlaru-
chuwkażdejdostateczniemałejczęścitegoprzedziałuczasu;możesięokazać,żedlacałegoprzedziału
czasu(t1,t2)całkaprzyjmujetylkowartośćekstremalną[lubtylkostacjonarną—przyp.tłum.],anieko-
niecznieminimalną.Jednakniejesttoistotne,gdyżprzywyprowadzaniurównańruchuwykorzystujemy
tylkowarunekekstremalności.
∗∗∗Obecnieczęstoużywanajestnazwalagranżjan(przyp.red.).
