Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Podgrupa
3.WgrupieC2vkażdyelementrazemzЕtworzypodgrupę,naprzy-
kład,
{,
ЕC
2
()
z
}
=
C
2
C
C
2v
.JeżeliHjestpodgrupągrupyG,tozbiór
GHniejestpodgrupą,ponieważ
\
ЕGH.
!
\
Dlapodgrupymożnadowieśćnastępującegobardzoogólnegotwier-
dzenia,znanegojakotwierdzenieLagrange’a:rządpodgrupyjestdziel-
nikiemrzędugrupy.
Weźmy
H
C
Gi1
n
<
n
(n1-rządH,n-rządG).Trzebadowieść,że
nntoliczbacałkowita.Obierzemyelement1
/
1
g
E^!
G
H
irozpatrzymy
wszystkiemożliweiloczyny1
gff
v!.Wskróciemożnatookreślićjako
H
gH.Tapodgrupazawieran1elementów.Wybierzemyinnyelement
1
g
2
!
H
^
g
1
!
Hiutworzymypodgrupę
gH.Będziemykontynuować
2
takiekonstrukcje,dopókiniewyczerpiemyelementówcałejgrupy.Pod-
grupyelementów
gHnosząnazwępodgrupsprzężonychzlewejstrony
i
dopodgrupyHlublewychklasprzyległych.Udowodnimy,żepodgrupy
gHniemająelementówwspólnych,
i
gH
i
m
gH
j
±,jeżelii
0
#.Jeżelite
j
podgrupymająelementwspólny11
gf
±
gf
22
,to:
g
2
±
gff
11
2
-
1
±
gf
13
E
gH
1
Tojestsprzecznezprzyjętymizałożeniami,bo
g
2
!
gH
1
.Toznaczy,
żegrupaGdzielisięnapodgrupysprzężone
gHniemająceelementów
i
wspólnych,dlatego
nkn
±
1
,gdziek-liczbacałkowita.Podgrupytetwo-
rzągrupęG:
G
±U
i
k
±
1
gH.
i
Rozpatrzmynaprzykładgrupęliczbcałkowitychzdziałaniemmno-
żeniaiwyodrębnijmypodgrupęwszystkichliczbparzystych.Wszystkie
liczbytypu
q
+
a,gdziea-dowolnaliczbaparzysta,tworząklasęprzy-
ległościodnośniedotejpodgrupy.Jeżeliqparzyste,toklasaprzyległości
zawieraliczbyparzyste;jeżeliqnieparzyste,klasaprzyległościzawiera
liczbynieparzyste.Istniejąwięcdwieklasyprzyległościgrupyliczbca-
łychodnośniedopodgrupyliczbparzystych.
15
