Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Model
spot
aprecjacjikapitału
s(C,t)=Cs(1,t)=C
ς
(t).
15
cokończydowódtożsamości(1.4).Wymienionewdowodzonymtwierdzeniuwłas-
nościczynnikaaprecjacji
ς
wynikająbezpośredniozzależności(1.2)i(1.3).Dowód
implikacjiodwrotnejjestoczywisty.
Dziękitwierdzeniu1.1dalszeposzukiwaniajednoznacznejpostaciwartościprzy-
szłejspotbędziemymogliograniczyćdoposzukiwaniajednoznacznejpostaciczynnika
aprecjacji.Przesłankamitychposzukiwańbędądalszefaktyobserwowanenagruncie
teoriifinansów.
Przykład1010Zgodnieztwierdzeniem1.1,zpunktuwidzeniamatematykifunkcja
s:R×[0,2]→[1,+∞],danazapomocązależności
s(C,t)=C
2-t
2
,
możebyćwartościąprzyszłąspotokreślonąwprzedzialeanalizykapitałowej[0;2].
Zdrugiejstronyzpunktuwidzeniafinansówwartośćaplikacyjnatejfunkcjijest
niewielka,gdyżwteoriifinansównieznajdujemyfaktówuzasadniającychpostać
czynnikaaprecjacji.
Kolejnymprzedmiotemnaszychdociekańbędziestrumieńfinansowy.Pojedynczy
strumieńfinansowyjestreprezentowanyprzezparę(t,C)E[0,T]×R,gdzietoznacza
momentprzepływustrumienia,Czaśopisujewartośćnominalnątegoprzepływu.
SymbolΞoznaczaprzestrzeńwszystkichmożliwychstrumienifinansowych0War-
tościąbieżącąstrumieniafinansowego(t,C)EΞjesttakawartośćpoczątkowa
PV(t,C),którejwartośćprzyszłaprzypisanamomentowitprzepływustrumienia
(t,C)jestrównawartościnominalnejCtegoprzepływu[Calzi,1990].Tadefinicja
wformalnysposóbmożebyćzapisanazapomocątożsamości
s(PV(t,C),t)=C.
TWIERDZENIE1020Tożsamość(1.6)jestrównoważnatożsamości
PV(t,s(C,t))=C.
Dowód.Wtożsamości(1.6)podstawiamyC=s(C
1,t)imamywtedy
PV(t,s(C
1,t))
ς
(t)=C
1
ς
(t),
(1.6)
(1.7)
corazemzrównaniem(1.4)dajePV(t,s(C
1,t))
ς
(t)=C
1
ς
(t).Czynnikakumulacji
jestdodatni,cokończydowódrównoważnościtożsamości(1.6)i(1.7).
TWIERDZENIE1030Warunki(1.1)–(1.3)i(1.6)sąwarunkamidostatecznymiikoniecz-
nymidotego,abywartośćbieżącaspełniałatożsamość
PV(t,C)=C[
ς
(t)]-1=Cv(t),
(1.8)
gdzieczynnikdyskontav:[0,T]→]0,1]jestnierosnącąfunkcjąspełniającąwarunek
v(0)=1.
(1.9)
