Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
1.Arytmetykafinansowa
Dowód.Postaćczynnikadyskontującegov:[0,T]→Rwynikabezpośrednioze
wzorów(1.24)i(1.25).Porównanietwierdzenia1.9ztwierdzeniem1.3kończy
dowód.
TWIERDZENIE10110Dladowolnejwartościwyjściowejforwardf:R×[0,T]2→Rfunkcja
FV:Ξ→R,określonatożsamością
FV(C,t)=f(C,t,T)=C
ϕ
(t,T)=Cφ(t),
jestwartościąkońcową.
Dowód.Zgodniezrównaniami(1.22),(1.24)i(1.28)mamy
(1.29)
C
ς
(T)=s(C,T)=f(C,0,T)=f(f(C,0,t),t,T)=s(C,t)
ϕ
(t,T)=C
ς
(t)φ(t).
Czynnikwaloryzacjiφ:[0,T]→Rspełniazatemzależność(1.14),cokończydowód
tegotwierdzenia.
TWIERDZENIE10120Dladowolnejwartościprzyszłejspots:R×[0,T]→R,danejza
pomocątożsamości(1.4),funkcjaf:R×[0,T]2→R,określonawzorem
f(C,t
1,t
2)=C[
ς
(t
1)]-1
ς
(t
2)=C
ϕ
(t
1,t
2),
jestjedynąwartościąwyjściowąforwardspełniającąwarunek(2.8).
Dowód.Zrównań(1.22),(1.27)i(1.28)mamy
f(C,t
1,t
2)=f(f(C,t
1,0),0,t
2)=s(PV(t
1,C),t
2)=C[
ς
(t
1)]-1
ς
(t
2).
(1.30)
Funkcja(1.30)jestzatemjedynąfunkcjąspełniającąwarunki(1.22)i(1.27).Bezpo-
średnioz(1.30)wynikawarunek(1.20).Warunek(1.21)jestkonsekwencjąmono-
tonicznościczynnikaaprecjacji.Funkcja(1.30)jestzatemwartościąwyjściowąfor-
ward.
Wtensposóbpokazano,żerynekfinansowymożebyćwrównoważnysposób
opisanyzapomocąmodeluspotaprecjacjikapitałulubzastosowaniumodeluforward
ewolucjiwartościkapitału.Obamodelezjednakowądokładnościąopisujątenrynek.
Wybórwłaściwegomodeluzależyjedynieodpostacipierwotnychinformacjiodanym
rynkufinansowym.
Szczególnymzainteresowaniemanalitykówfinansowychcieszysiętakafunkcja
wartościwyjściowej,wktórejczynnikforwardzależyjedynieodczasu,jakiupłynął
odmomentuwycenydomomentuzapadalności.Formalnymodzwierciedleniemtego
postulatujestnastępującawłasnośćjednorodnościfunkcjiwartościwyjściowej.
DEFINICJA1030Wartośćwyjściowąf:R×[0,T]2→Rnazywamyjednorodną,jeśliist-
niejetakafunkcjay:[-T,T]→R,żespełnionajesttożsamość
f(C,t
1,t
2)=Cy(t
2-t
1).
(1.31)
Postulatwyznaczeniajednorodnejwartościwyjściowejnarzucadośćsilneogra-
niczenianapostaćczynnikaaprecjacjiiczynnikaforward,gdyżmamywtedy:
