Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Oprocentowaniezłożone
Ψ={([0,1[;0,105),([1,30
12[;0,09),([30
12,3[;0,15),([3,5[;0,13)}.
29
Korzystajączzależności(1.66),dladowolnejwartościpoczątkowejkapitałuotrzy-
mujemykolejnewyrazyciągu
C
0=C,
C
1=
1-0,105⋅(1-0)
C
=1,117C,C
2=
1-0,09⋅(30
1,117C
12-1)
=1,292C,
C
3=
1-0,15⋅(3-30
1,292C
12)
=1,396C,
C
4=
1-0,13⋅(5-3)
1,396C
=1,887C.
Zgodniezrównaniem(1.65)pozwalatonaprzedstawieniewartościkapitalizowanej
zgóryjakofunkcjischodkowej
s∗(C,tiΨ)=
{
C
1,117C
1,292C
1,396C
1,887C
dla
dla
dla
dla
dla
t=0,
tE]0,1],
tE]1,30
12],
tE]30
12,3],
tE]3,5].
TWIERDZENIE10190Wartośćkapitalizowanazdołus
∗(⋅,⋅iΨ):R×[0,T]→Rjestwartością
przyszłąwyznaczonązapomocączynnikaaprecjacjizdołu
ς
∗(⋅iΨ):[0,T]→[1,+∞[,
którydlakażdegoi=1,2,
...,njestokreślonyprzezzależności
ς
∗(0iΨ)=1∧
ς
∗(t
iiΨ)-
ς
∗(ti-1iΨ)=
ς
∗(ti-1iΨ)p
i∆t
i,
∀tE[ti-1,t
i[
ς
∗(tiΨ)=
ς
∗(ti-1iΨ).
(1.67)
(1.68)
Dowód.Zwarunków(1.57),(1.58),(1.61)i(1.48)otrzymujemyrównanie(1.1).
Korzystajączewzorów(1.57),(1.58)i(1.61),wnioskujemy,żezachodzizależność
(1.2).Warunek(1.3)wynikabezpośredniozpostaci(1.59).Wartośćkapitalizowana
zdołujestzatemwartościąprzyszłą.DlakażdegotE[ti-1,t
i[(i=1,2,...,n),zzależ-
ności(1.4),(1.48),(1.57),(1.59)i(1.61)otrzymujemyrównanie(1.67).Wzór(1.68)
wynikabezpośrednioz(1.61).
Wobectwierdzenia1.18wartośćkapitalizowanązdołumożemyzapisaćjako
funkcjęschodkowądanązapomocątożsamości
s
∗(C,tiΨ)=
{
C
C
i
n
dla
dla
tE[t
i,ti+1[,i=0,1,2,...,n-1,
(1.69)
t=t
n=T,
gdzieciąg{C
i}n
i=0jestzdefiniowanyrekurencyjniewnastępującysposób:
{
C
C
0=C,
i=Ci-1(1+p
i∆t
i),i=1,2,...,n.
(1.70)
Przykład1080Niechbędziedanaopisanawprzykładzie1.7strukturaterminowastopy
nominalnejΨ.Korzystajączzależności(1.70),dladowolnejwartościpoczątkowej
kapitałuotrzymujemykolejnewyrazyciągu
