Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział2
Przykładyiabstrakcje
Przedstawioneniżejprosteprzykładywskazująwjakróżnysposób(równieżwbardzo
skomplikowany,używajączaawansowanychabstrakcji)możnaopisywaćprostezależ-
nościdotycząceprostychpojęć.
2.1
Język,zdaniaidowody
Przykłady:
1.(p
q)2=2orazpiqsąliczbaminaturalnymiwzględniepierwszymi.Jesttozadnie
nieprawdziwe,ponieważwtedyp2=2q2.Awięcpiqsąliczbamiparzystymi.
2.Następującasekwencjarównościjestprawdziwawsposóboczywistywprostz
definicjipierwiastkakwadratowego.
2=(√2)2=√2
√2√2
=(√2
√2
)
√2=ab,przyczyma=√2
√2
orazb=√2
Jestjasneiprostecoznacząpowyższezależności;możnajewyrazićwArytmetyce
jakozależnościpomiędzyliczbaminaturalnymi.Pierwiastekkwadratowywrównaniu
y=√xjestinnymzapisem(abstrakcją)równoważnegorównaniay·y=x.Alemożna
tepowyższezależnościopisaćwformiezdań(twierdzeń)wnastępującysposób.
Twierdzenie1.√2jestliczbaniewymierną.
Twierdzenie2.Istniejądwieliczbyniewymierneaib,takieżeabjestliczbąwy-
mierną.
Liczbyniewymierne,toliczbyrzeczywiste,któreniesąwymierne.Pojęcieliczb
rzeczywistych(definiowanychpoprzezciągiCauchy?egolubprzekrojeDedekinda)jest
abstrakcjąużywającązbioruliczbwymiernychjakoaktualnejnieskończoności.Można
teżdefiniowaćliczbyrzeczywisteaksjomatycznie(jednoznaczniezdokładnościądo
izomorfizmu)jakozupełneliniowouporządkowaneciałoArchimedesowe.
Powyższezależności(1)i(2)możnauznaćzadowodyniewprosttychtwierdzeń.
Wdrugimtwierdzeniu,jeśli√2
√2
jestwymiernetonależyprzyjąć,żea=b=√2i
