Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.2.Postaćalgebraiczna(kartezjańska)liczbyzespolonej
27
Definicja3.2.2.Niechz=x+źg∈C,wtedyliczbęxnazywamyczęściąrze-
czywistąliczbyz,liczbęgzaśnazywamyczęściąurojonąliczbyz.Oznaczamy:
Rez=x,
Imz=g,
x,g∈R,
iczytamyodpowiednio:realisz,imaginalisz(łac.).
(3.2.3)
Uwaga3.2.2.Płaszczyznęzkartezjańskimukłademwspółrzędnych,wktórej
każdemupunktowi(x,g)odpowiadaliczbazespolonaz=x+źg,nazywamypłasz-
czyznązespolonąlubpłaszczyznąGaussa.OśOxnazywamyosiąrzeczywistą
ioznaczamyRez,ośOgnazywamyosiąurojonąioznaczamyImz.
Uwaga3.2.3.Liczbęzespolonąz=x+źg,dlaktórejx=0,g∈R\{0},nazy-
wamyliczbączystourojoną,natomiastjeślix∈R,g=0,toliczbazespolona
jestnazywanaliczbączystorzeczywistą.Zatemzbiórliczbrzeczywistychjest
podzbioremzbioruliczbzespolonych.
Uwaga3.2.4.Działaniatakiejakdodawanie,odejmowanie,mnożenieidzielenie
liczbzespolonychdanychwpostacialgebraicznejwykonujemyjaknawielomianach
zmiennejź,pamiętającotym,żeź2=−1.Abyotrzymaćpostaćkartezjańską
ilorazuz1/z2,gdziez2=x2+źg2,mnożymygoprzezx2−źg2iwtensposób
uzyskujemywmianownikuliczbęrzeczywistą.
Przykład3.2.1.Dlaz1=1−2ź,z2=−3+źoblicz2z1−5z2,z1·z2,z2/z1.
Traktującźjakozmiennąorazwykorzystującrównośćź2=−1,wyznaczamywska-
zanewartościdziałań:
2z1−5z2=2(1−2ź)−5(−3+ź)=2−4ź+15−5ź
=(2+15)+ź(−4−5)=17−9ź,
z1·z2=(1−2ź)·(−3+ź)=−3+ź+6ź−2ź2
=(−3+2)+ź(1+6)=−1+7ź,
z2
=
=
−3+ź
−3+ź−6ź+2ź2
1−2ź
=
(−3+ź)(1+2ź)
(1−2ź)(1+2ź)
=
−5−5ź
5
z1
12−22ź2
=−1−ź.
Definicja3.2.3.Sprzężeniemliczbyzespolonejz=x+źg,x,g∈R,
nazywamyliczbę
z=x−źg.
(3.2.4)
LiczbysprzężonaziliczbazsąsymetrycznewzględemosiRez.Liczbasprzężona
zjestoznaczanarównieżz∗.
Uwaga3.2.5.Ilorazz1/z2możnasprowadzićdopostacialgebraicznej,mnożąc
licznikimianownikprzezsprzężeniemianownika,czyliz2(patrzprzykład3.2.1).
Wtedymianownikjestrównyz2z2=x2
2+g2
2∈R.
