Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Chaotycznereakcjerynkówfinansowych…
21
Przykładynieliniowychchaotycznychsystemów
Przytaczającpewneprzykładynieliniowychchaotycznychsystemówza-
prezentujemyichzachowaniesię,atakżeumożliwimyuzasadnieniepytaniapo-
jawiającegosięwnaturalnysposóbwtakichsytuacjach,amianowicie,jak
określić,czyrealizowanydanyszereggenerowanyjestprzezstochastycznyczy
chaotycznysystem.
Waspekcieprognozyprzyszłegoruchucenznaczącoważnajestkwestia,
wjakimzakresiemożnaprognozowaćnapodstawienieliniowychchaotycznych
systemów.Okazujesię,żesytuacjaniejestzbytoptymistyczna,gdyżchaotyczne
systemycharakteryzuje,niezależnieodichdeterministyczności,dużazmienność
ichtrajektorii,któramożesiępojawiaćprzyniedokładnychdanychpoczątko-
wych,aponadtozależyistotnieodwartościparametru.
Logistyczneprzekształcenie
Wlogistycznejaplikacjiprzekształceńmającejwekonomiiwieleodniesień
rozpatrzymyprzekształcenielogistyczne[7]:
x⟶Tx≡x(1−x)
iwywołanyprzeznie(jednowymiarowy)nieliniowydynamicznysystem:
xπ=xπ-1(1−xπ-1),n=0,1,…,
0<x0<1
(12)
Dlawartości≤1rozwiązaniaxπ=xπ()malejąisązbieżnedozera
przyn→∞iwszystkich0<x0<1.Wtakimprzypadkustanx=0można
rozpatrywać,jaktenjednoznacznystabilnystan,doktóregozbieżnesąwszyst-
kiewartościxπprzyn→∞.Przyλ=2wartościxπsąrosnącedo0,5.Zatem
wtymprzypadkutakżeistniejejednoznacznestabilnerozwiązaniex=0,5,
które„przyciąga”wartościxπprzyn→∞.
Zwiększającwartośćparametruλłatwostwierdzić,żewsystemie(3),przy
λ<3takjakwcześniejistniejetylkojednostabilnerozwiązanie,jednakjuż
przyλ=3powstajejakościowonowyefekt,amianowiciewmiaręwzrostun
występujądwastanystabilnościx,wktórychnaprzemianznajdujesięsystem.
Takisamcharakterzachowujesystemprzyzwiększaniuwartościparametruλ,
alesystemzachowujesięnagleinaczejprzyniewielkimwzrościeparametruλ,
iprzyλ=3,5644…takichstanówjest16,przyλ=3,5696…jestichjuż64,
aprzyλ=3,6liczbatakichstanówjestjużnieograniczenieduża.Tenostatni
przypadektłumaczysięutratąstabilnościprzezsystemiprzejściesystemu
wstanchaosu.
