Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
1KRZYWEIPOWIERZCHNIE
Rozwiązanie
Jeślizdefiniujemyfunkcjef1if2wzorami:
f1(xjyjz)=(x−1)
2+y2+z2−4j
f2(xjyjz)=(x+1)
2+y2+z2−4j
(1.2.17)
tojasnejest,żefunkcjaFzpoprzedniegozadaniamaterazpostać:
F(xjyjz)=[f1(xjyjz)
f2(xjyjz)]j
(1.2.18)
arównanieF(xjyjz)=0toskrótowyzapisukładurównań(1.2.16).Możemy
spodziewaćsię,przynajmniejzformalnegopunktuwidzenia,żerównaniate
pozwoląwyznaczyćdwiespośródzmiennychxjyjzjakofunkcjetrzeciej.Bę-
dziemyzatemmielidwiezmiennetypuYijednązmiennątypuX.Jeślikażdy
punktzbioruzdefiniowanegorównaniemF(xjyjz)=0(oznaczmygosymbo-
lemV)maotoczenie,naktórymjesttomożliwe,izbiórtenjestwykresem
pewnegoodwzorowaniaY(X),tomożemynazwaćgopowierzchnią.Napod-
stawietwierdzeniaofunkcjiuwikłanejwiemy,żebędzietomiećmiejsce,gdy
wkażdympunkciezbioruVspełnionybędziewarunek
det
∂F
∂Y
/=0.
(1.2.19)
Jakpamiętamy,funkcjaFmadwieskładowe,apodsymbolemYtakże
kryjąsiędwiezmienne,więcmacierzoznaczonaskrótowosymbolem∂F/∂Y
jestmacierząkwadratową2×2.Niemaprzeszkódwobliczeniujejwyznacz-
nika.Warunek(1.2.19)oznaczapoprostu,żemacierztajestnieosobliwa.
Podkreślmyjednak,żewarunektenmacharakterlokalnyiwotoczeniach
różnychpunktówróżnezmiennemogąbyćuważanezazmiennezależne(tj.
typuY).Abyuwzględnićtęmożliwość,obliczmynajpierwpełnąmacierz
Jacobiego:
F′=
∫
|
|
l
∂f1
∂f2
∂x
∂x
∂f1
∂f2
∂y
∂y
∂f1
∂f2
∂z
∂z
1
|
|
J
=[2(x−1)2y2z
2(x+1)2y2z].
(1.2.20)
Wybierającdwiezmienne,wybieramywistociedwiespośródkolumntej
macierzyitakazredukowanamacierz–tj.powykreśleniuzniejniepotrzebnej
kolumny–musijużbyćnieosobliwa.Odpowiadatoobliczaniudwuwymiaro-
wychminorów,zktórychchoćjedenpowinienbyć(lokalnie)niezerowy.Po-
sługującsięjęzykiemalgebry,powiedzielibyśmypoprostu,że(1.2.20)musi
miećrządrówny2.
