Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
wtejpracy,polegałanatym,żejejautorzymyśleliprzekształceniami,
anieobiektami,pomiędzyktórymiprzekształceniadziałają.Jeżeli
obiektówniedasięwogóleuniknąć,toprzynajmniejniechpozostaną
wcieniuprzekształceń.SamoprzekształceniestrukturEilenberg
iMacLanenazwalifunktorem.Chcącjednakściślezdefiniować
pojęciefunktora,trudnouniknąćuściśleniatego,cozostaje
przekształcone(strukturawyjściowa)itego,wcozostaje
przekształcone(strukturadocelowa).Tuwłaśniepojawiasiępojęcie
kategorii:funktorprzekształcajednąkategorięwdrugą.
Wypadawtymmiejscupowiedzieć,jakkategoriazostała
zdefiniowana.Otóżkategoria:
•składasięzobiektów:A,B,C,...istrzałek(zwanychrównież
morfizmami)zjednegoobiektudodrugiego,naprzykładf
:A→B(możemytorównieżzapisać:A–f→B).Obiekt
Anazywasiędziedziną,aobiektB–kodziedzinąstrzałkif.
•Jeżelimamyrównieżstrzałkęg:B→C,tostrzałkifigmożna
złożyć,otrzymującg○f:A→C.
•Składaniejestłączne,tzn.jeżeliA–f→B–g→C–h→D,toh○(g
○f)=(h○g)○f.
•Istniejąstrzałkiidentycznościowe,naprzykład1
A
:A→A,mającetęwłasność,żezłożeniestrzałki
identycznościowejzjakąkolwiekinnąstrzałką(zjakąonadaje
sięzłożyć)jestrównetejstrzałce.
Łatwosprawdzić,żejeżelizbiorypotraktujemyjakoobiekty,
aodwzorowaniamiędzyzbioramijakostrzałki,towszystkie
aksjomatydefinicjikategoriibędąspełnioneiotrzymamykategorię,
którąbędziemyoznaczaćprzezSET.Bardzowieluprzykładów
kategoriidostarczajązbiorywyposażonewpewnąstrukturę.
Wówczasstrzałkamisąprzekształceniazachowującetęstrukturę.
Naprzykładprzestrzeniewektorowe(czylizbiorywyposażone
wstrukturęliniową)jakoobiektyiprzekształcenialiniowejako
strzałkitworząkategorięWEKT.Jednakżepojęciekategoriijest
