Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Wstęp
11
PodobnedociałaRpodpewnymiwzględamisątzw.ciałarzeczywiście
domknięte,którejakRsąciałamiformalnierzeczywistymiokowymiarze2
wswoimalgebraicznymdomknięciu.Rozdziałtrzecipodajecharakteryza-
cjętakichciał.Pokazujemywnimistnienieijednoznacznośćrzeczywistego
domknięciaciałauporządkowanego,którejestodpowiednikiemalgebraicz-
negodomknięciawteoriiciałformalnierzeczywistych.Podobieństwociał
rzeczywiściedomkniętychdociałaRwyrażasięrównieżwtym,żepewne
elementarnetwierdzeniaanalizymatematycznej,przedstawionewpodroz-
dziale3.4,sąprawdziwenadtymiciałami.
Różneporządkiciała,ajakwspomnieliśmyciałomożemiećichwiele,
mogąimplikowaćróżnewłasności.Pojęciatakie,jak:gęstość,archimedeso-
wośćczywypukłość,odnosząsiędozbioruuporządkowanego.Tewłasności
wciałachzustalonymporządkiem(tzn.ciałachuporządkowanych)dysku-
towanesąwrozdzialeczwartym.Zaichpomocąscharakteryzowaćmożna
zarównopodciałaciałaRjjakisamociałoR.Jednazeznanychkonstrukcji
ciałaliczbrzeczywistychwykorzystujeprzekrojeDedekindaciałaliczbwy-
miernych.Oczywiście,pojęcieprzekrojuDedekindamasenswdowolnym
cieleuporządkowanym,jednakzachowanietychprzekrojówmożewistotny
sposóbróżnićsięodichzachowaniawcieleliczbwymiernych.Mimoto,
konstrukcjęciałaRzapomocąprzekrojówmożnanaśladowaćwprzypadku
dowolnegociałazustalonymporządkiem,uzyskująctzw.ciągłedomknię-
cietegociała.Mówiącogólnie,konstrukcjata„zalepiadziury”międzykla-
sądolnąigórnąpewnychprzekrojówDedekinda,któretowprzypadku
ciałaliczbwymiernychodpowiadająliczbomrzeczywistym.Wprzypadku
ciałarzeczywiściedomkniętegoprzekrojeDedekindategociaławyznaczają
wszystkieporządkiciałafunkcjiwymiernychnadtymciałem.
Wzbiorzeporządkówciałaformalnierzeczywistegomożnawprowadzić
topologię,któraczyniztegozbioruprzestrzeńboolowską.Rozdziałpiąty
poświęconyjestaspektomtopologicznymzbioruporządków.Zewzględuna
interesującyzwiązekwłasnościalgebraicznychciałazwłasnościamitopolo-
gicznymijegoprzestrzeniporządkówwyróżniamyklasęciałspełniających
SAP(StrongApproximationProperty).Innecharakteryzacjetejklasyza-
wartesąwdalszychrozdziałach.Czynimyturównieżważneprzygotowania
dotego,abywostatnimrozdzialepokazać,żekażdaprzestrzeńtopologiczna
boolowskajesthomeomorficznazprzestrzeniąporządkówpewnegociała.
Podpierścieńwypukłyciałazustalonymporządkiemokazujesiępier-
ścieniemwaluacyjnym,awaluacjawyznaczonaprzeztakipierścieństanowi
nadzwyczajskutecznenarzędziedobadaniawłasnościciała.Rozdziałszó-
styzawierapodstawoweinformacjezteoriiwaluacjinaddowolnymiciała-
mi,podczasgdyrozdziałnastępnydotyczyściśleteoriiwaluacjinadciała-
