Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Podzielność,liczbypierwsze
15
otrzymamyalxbixnlqa+rlqxb+r.Ponieważa(nlqb)lbr,zatemzr/l0
wynikaqbln/l0iotrzymujemy
xl
nlqb
r
,
wbrewwyborowia.
Wniosektenpozwolinamteraznaudowodnieniepewnejwłasnościliczbwymier-
nych,którączęstotraktujesięjakooczywistą:
WNIOSEK2.Każdaliczbawymiernawróżnaodzeradasięjednoznaczniezapisać
wpostaciwla/b,gdzieajestliczbącałkowitą,bjestliczbąnaturalną,anadtoliczby
aibniemająwspólnegodzielnika>1,tj.ułamkaa/bniedasięuprościć.
Dowód:Istnienieżądanegoprzedstawieniawynikazdefinicjiliczbwymiernychjako
ilorazówliczbcałkowitych.Byudowodnićjednoznacznośćtegoprzedstawienia,przyj-
mijmy,żewla/bjestnieskracalnymułamkiemzb>0.Niechnadtospośródwszyst-
kichprzedstawieńliczbywwpostaciułamka,ułamekwlx/y(x,y∈Z,y>0)
malicznikonajmniejszejwartościbezwzględnej.Wystarczyterazwykazaćrówności
alxibly.Zwniosku1otrzymujemyx|a,azatemalxaiprzypewnymai∈Z.
Wówczaszbxlaylaixyotrzymujemyblaiy,awięcaidzielizarównoa,jakib.
Zewzględunaaily/b>0otrzymujemyail1,awięcylbixla.
Następującyrezultatjestczęstozwanyzasadniczymtwierdzeniemarytmetyki:
WNIOSEK3.Jeślipjestliczbąpierwsządzielącąiloczyndwóchliczbcałkowitych,to
dzieliteżjednąznich.
Dowód:Jeślip|ab,tomożemynapisaćablpc,gdziecjestliczbącałkowitą.
Rozpatrzmyułamek
rl
p
b
l
a
c
.
Niechrlx/y(x,y∈Z)będzieprzedstawieniemliczbyrwpostaciilorazuliczb
całkowitychzminimalnym,codomodułu,licznikiem.Zwniosku1wynikax|p,awięc
xl±1lubxl±p.Ponadtoztegożwnioskuotrzymujemyx|a.Jeśliterazxl±p,
top|a,ajeżelixl±1,to
p
b
l±
1
y
,
awięcb/pl±y∈Ziwidzimy,żep|b.
WNIOSEK4.Jeślipjestliczbąpierwsządzielącąiloczynaia2···an,topdzieliprzy-
najmniejjednązliczbai,a2,...,an.
Dowód:Zastosujemyindukcjęwzględemn.Przypadeknl2jestzawartywpo-
przednimwniosku,akrokindukcyjnywynikazuwagi,żejeślip|aia2···an+il
ai(a2···an+i),tozpoprzedniegownioskuwynika,żep|ailubteżp|a2···animożemy
skorzystaćzprzesłankiindukcyjnej.
2.Liczbypierwszesącegiełkami,zktórychzbudowanesąliczbynaturalne.Jestto
treściąnastępującegotwierdzenia:
