Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
341.Podstawowepojęcia
Σ
jlimjvj(mj∈Z).Przyjmująckl1+r≤nivklz,widzimy,żekażdyelement
r
AzapisujesięwpostaciΣ
jlimjvj(mj∈Z)itojednoznacznie.
k
Terazmożemypodaćopiswszystkichrozwiązańrównania(1.7):
TWIERDZENIE1.14.Jeżeliliczbyai,a2,...,ansącałkowiteiniewszystkierównezeru,
L(x)lΣ
n
iliaixi,aĘl(xi,x2,...,xn)jestdowolnymcałkowitymrozwiązaniem
równaniaL(x)lb,toistniejątakieelementyvi∈Zn(il1,2,...,nl1),że
nl(yi,y2,...,yn)jestrozwiązaniemtegorównaniawtedyitylkowtedy,gdydasię
przedstawićwpostaci
nlĘ+
Σ
jli
nli
mjvj
(mj∈Z).
Przedstawienietakiejestjedyne.
Dowód:Stosująclemat1.12orazpoprzednietwierdzeniedogrupy
n
J(L)l{(xi,x2,...,xn)∈Z
n:
Σ
aixil0},
ili
widzimy,żeprzypewnymk≤nistniejątakievi,v2,...,vk∈Zn∩kerL,żerozwią-
zanianaszegorównaniapokrywająsięzelementamipostaciΣ
k
ilimivi+Ę(mj∈Z).
Przedstawienietakiejestjednoznaczne,azatemelementyvisąliniowoniezależne,więc
k≤dim(kerL)lnl1.Pozostajepokazać,żeklnl1.Jeśliei,e2,...,enlijest
baząkerL,toistniejeliczbanaturalnaDtaka,żewszystkiewspółrzędnewektorówDei
(il1,2,...,nl1)sącałkowite,awięctewektoryleżąwJ(L).Ponieważsąone
oczywiścieliniowoniezależne,zatemnl1≤kiostatecznieotrzymujemyklnl1.
3.Zwniosku1ztwierdzenia1.6wynika,żejeśliliczbynaturalnea,bsąwzględnie
pierwsze,tokażdaliczbacałkowitadasięprzedstawićwpostaciax+byprzycałkowitych
x,y.Następującetwierdzeniedajeodpowiedźnapytanie,jakieliczbynaturalnedadzą
sięprzedstawićwtensposóbprzynieujemnychx,y:
TWIERDZENIE1.15.Jeślia,bsąwzględniepierwszymiliczbaminaturalnymi,tokażdą
liczbęnaturalnąwiększąodablalbmożnaprzedstawićwpostaciax+byprzy
całkowitychnieujemnychx,y,liczbazaśablalbtakiegoprzedstawienianiema.
Dowód:Przyjmijmy,żeb<ainiechNbędzieliczbąnaturalnąwiększąodablalb.
RozpatrzmyliczbyailNlaidlail0,1,2,...,bl2izauważmy,żeichreszty
zdzieleniaprzezbsąróżne.Wistocie,jeśliliczbyNlaiiNlaj(0≤i<j≤bl2)
dajątesamyreszty,tob|a(jli),awięcbdzieliliczbęjli,którajestdodatnia
imniejszaodb,cojestniemożliwe.Zatemwystąpitutajbl1różnychreszt.Jeżeli
występujewśródnichzero,powiedzmyb|Nlax,toprzypewnymcałkowitymymamy
Nlax+byipozostajepokazać,żey≥0,aletowynikaznierówności
bylNlax≥ablalbla(bl2)lalb>0.
Jeżeliwzbiorzeresztliczbaizdzieleniaprzezbzeraniema,tomusząwnimwystąpić
wszystkieresztyniezerowe.Wszczególnościistniejex∈[0,bl2]takie,żeaxdaje
