Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Podstawowewłasności
37
dlawszystkichcałkowitychxmamyx4ix2(mod2),aleniewszystkiewspółczynniki
wielomianuX4lX2dzieląsięprzez2.
Otopodstawowewłasnościkongruencji:
TWIERDZENIE2.1.(i)Jeśliaiia2(modN)orazbiib2(modN),to
ai+biia2+b2(modN),
ailbiia2lb2(modN),
ai·biia2·b2(modN).
(ii)aib(modN)zachodziwtedyitylkowtedy,gdyN|alb.
(iii)Jeśliabiiab2(modN)i(a,N)l1,tobiib2(modN).
(iv)Jeślia∈Norazabiiab2(modaN),tobiib2(modN).
Dowód:(i)wynikaztego,żefjesthomomorfizmempierścieni,(ii)zaśotrzymu-
jemydziękiuwadze,żez(i)wynika,iżkongruencjaaib(modN)jestrównoważna
zalbi0(modN),cooznaczapodzielnośćalbprzezN.Byudowodnić(iii),
zauważmy,żezabiiab2(modN)wynikapodzielnośća(bilb2)przezNimożemy
skorzystaćzwniosku2ztwierdzenia1.6.Wreszcie(iv)wynikazuwagi,żejeżeliaN
dzielia(bilb2),toNdzielibilb2.
WNIOSEK1.JeżeliW(Xi,X2,...,Xn)jestwielomianemnzmiennychocałkowitych
współczynnikach,aliczbyai,bi(il1,2,...,n)sącałkowiteispełniająwarunek
aiibi(modN)przyil1,2,...,n,to
W(ai,a2,...,an)iW(bi,b2,...,bn)(modN).
Dowód:Jeżeli
W(Xi,X2,...,Xn)lΣ
Ii
1,...,inX
i1
i···Xin
n,
i1,...,in
tostosując(i),otrzymujemykolejno:
a
i···ain
i1
nib
i1
i···bin
n(modN),
Ii
1,...,ina
i···ain
i1
niIi
1,...,inb
i···bin
i1
n(modN),
W(ai,a2,...,an)iW(bi,b2,...,bn)(modN).
WNIOSEK2.JeżeliW(X)jestwielomianemocałkowitychwspółczynnikach,którego
wszystkiewartościW(1),W(2),...sąliczbamipierwszymi,tojestonwielomianem
stałym.
Dowód:Załóżmy,żeW(X)jestwielomianemprzyjmującymdlanl1,2,...warto-
ścipierwszeiniechW(1)lp.Jeżeliterazdlanl1,2,...przyjmiemymnl1+pn,
tozpoprzedniegownioskuotrzymamyW(mn)iW(1)i0(modp).Zatemwszystkie
liczbyW(mn)dzieląsięprzezp.Ponieważliczbytesąpierwsze,zatemdlanl1,2,...
zachodzirównośćW(mn)lp,awięcWjestwielomianemstałym,gdyżjedynietaki
wielomianmożeprzyjąćtęsamąwartośćwnieskończeniewielupunktach.
